Estaba repasando mi libro de texto y tengo problemas para entender este proceso:
¿Por qué la integral más interna tiene los límites $\sqrt{y}$ y $1$ ? La forma en la $xz$ avión tiene el mismo aspecto que el de la $xy$ avión, así que me imaginé que podría reemplazar $\sqrt{y}$ con $\sqrt{z}$ en los límites.
Hice un cálculo rápido en mi ordenador utilizando $f(x,y,z)=xyz$ para comprobarlo y los resultados fueron $0.0125$ y $0.02916667$ respectivamente. ¿Qué me falta aquí?
Las dos integrales son iguales: véase aquí y aquí%5E1%20x%20y%20z%20dx%20dz%20dy) .
En cuanto a los límites, todo el argumento de la "proyección" me parece demasiado complicado. Tienes $$\tag1 0\leq x\leq 1, \ \ 0\leq y\leq x^2,\ \ 0\leq z\leq y. $$ Si ahora quiere $y$ para ser la variable "independiente", se obtiene $0\leq y\leq 1$ . También tienes, desde arriba, que $0\leq z\leq y$ . Y, finalmente, $\sqrt y\leq x\leq 1$ de los dos primeros conjuntos de desigualdades en $(1)$ .
Si utilizamos la figura 13, hay una forma más sencilla de calcular los límites de integración para cualquier orden.
Paso 1 : Para la variable correspondiente a la integral más interna ( $x$ en este caso), visualice una línea paralela a la $x$ -eje que pasa por el sólido. Entonces la superficie donde dicha línea tocaría por primera vez el sólido viene dada por $y= x^2$ y la superficie por la que saldría del sólido viene dada por $x=1$ .
Por lo tanto, los límites inferior y superior de $x$ son $\sqrt y$ y $1$ respectivamente.
Paso 2 : Para las dos variables restantes ( $y$ y $z$ en este caso), encontrar la región $R$ en el $yz$ -plano que incluye todos los $y$ y $z$ coordenadas que se utilizan en el sólido. Observando la figura 13, esta "proyección" sobre $yz$ -puede verse intuitivamente como $R= \{(y,z):0\leq y \leq 1,0\leq z \leq y\}$ .
Paso 3 : Ahora el problema se ha reducido básicamente a calcular los límites de una integral doble. Como $y$ es la variable correspondiente a la integral más externa, expresa los límites de $z$ en términos de $y$ .
Por lo tanto, los límites inferior y superior de $z$ son $0$ y $y$ respectivamente. Mientras que los límites inferior y superior para $y$ son $0$ y $1$ respectivamente.
¿Por qué la integral más interna tiene los límites $\sqrt y$ y $1$ ? La forma en el plano xz parece la misma que la del plano xy, así que me imaginé que podría reemplazar $\sqrt y$ con $\sqrt z$ en los límites.
Sobre la base de la interpretación anterior, la sustitución de $\sqrt y$ con $\sqrt z$ significaría esencialmente que si una línea arbitraria paralela a la $x$ -pasara a través de su sólido, tocaría primero el sólido en $x=\sqrt z$ . Sin embargo, sabemos que no es así, por lo que hacerlo cambiaría el sólido que estamos tratando.
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