Deje que$G$ sea un grupo y que$S$ sea un subconjunto tal que si$a\in S$ entonces$a^{-1}\not \in S$.

Question

Deje $G$ ser un grupo y vamos a $S$ ser un subconjunto de a$n$ elementos distintos de a$G$ con la propiedad de que $a\in S$ implica $a^{-1}\not\in S$. Considere la posibilidad de la $n^2$ productos (no necesariamente distintos) de la forma $ab$, donde $a\in S$ e $b\in S$. Demostrar que en la mayoría de las $n(n-1)/2$ de estos productos pertenecen a $S$.

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He estado pensando acerca de este problema para los dos días, no he hecho nada acerca de la prueba, pero sólo para explorar algunos de los ejemplos.
Considero que el grupo $G=\langle\mathbb Z_{11}, \cdot\rangle$, y deje $$S=\{2,3,5,7\}$$ que claramente satisfacen la propiedad.
Luego he probado, en $16$ de los números, exactamente $6$ de ellos están en $S$.
Cualquier sugerencia de cómo demostrarlo?

Answer 1

Deje $T$ el conjunto de pares $(a,b)\in S^2$ tal que $ab\in S$. Deje $U$ el conjunto de pares $(a,b)\in S^2$ tal que $b\in aS$.

Definir la permutación $q:G^2\to G^2$ por $q(a,b)=(a,ab)$. A continuación, $q(T)=U$.

Por la presunción de $S\cap S^{-1}=\emptyset$, tenemos $(a,a)\notin U$ e $(a,b)\in U$ implica $(b,a)\notin U$. Por lo tanto $|U|\le n(n-1)/2$. Desde $|U|=|T|$ se sigue que $|T|\le n(n-1)/2$.