Si se conmutan dos mapas continuos de un intervalo, entonces concuerdan en algún punto

Question

Deje que$f,g:[0,1] \rightarrow [0,1]$ sean funciones continuas tales que$f\circ g =g\circ f$. Demuestre que existe$x \in [0,1]$ tal que$f(x)=g(x)$

Answer 1

Esta respuesta fue inspirado por el de @PaulSinclair.

Supongamos que la afirmación es falsa, por lo que el $f\left(x\right)\neq g\left(x\right)$ para todos los $x\in I:=\left[0,1\right]$. Mediante el intercambio de $f,g$, podemos asumir $f\left(0\right)<g\left(0\right)$. Si tuviéramos $f\left(x\right)\geq g\left(x\right)$ para algunos $x\in I$, el teorema del valor intermedio (aplicado a $f-g$) daría la reclamación, en contradicción con nuestra hipótesis. Por lo tanto, $f\left(x\right)<g\left(x\right)$ todos los $x\in I$.

Por la continuidad, no es $\varepsilon>0$ $\varepsilon+f\left(x\right)\leq g\left(x\right)$ para todos los $x\in I$. En particular, $g\left(x\right)\geq\varepsilon$ para todos los $x\in I$.

Por inducción, mostramos $g^{n}\left(I\right)\subset\left[n\varepsilon,\infty\right)$ para todos los $n\in\mathbb{N}$. Para $n=1$, sólo nos mostró que esto tiene.

Ahora, suponga $g^{n}\left(I\right)\subset\left[n\varepsilon,\infty\right)$ y deje $x\in I$ ser arbitraria. Tenemos \begin{eqnarray*} g^{n+1}\left(x\right) & = & g\left(g^{n}\left(x\right)\right)\\ & \geq & \varepsilon+f\left(g^{n}\left(x\right)\right)\\ & \overset{f\circ g=g\circ f}{=} & \varepsilon+g^{n}\left(f\left(x\right)\right)\\ & \overset{\text{induction}}{\geq} & \varepsilon+n\varepsilon\\ & = & \left(n+1\right)\varepsilon \end{eqnarray*} y por lo tanto $g^{n+1}(I) \subset [(n+1)\varepsilon, \infty)$.

Para $n$ lo suficientemente grande, esta es una contradicción a $g\left(I\right)\subset I$. Por lo tanto, la demanda debe contener.

Answer 2

No he trabajado en todo esto, pero comenzaría asumiendo wlog que$f(0) < g(0)$, y luego utilizaría la inversión de la composición para mostrar que$f < g$ no se puede mantener en todas partes. Entonces el resultado seguirá del teorema del valor intermedio.