La cuestión de la secuencia geométrica.

Question

Deje que$h_a$,$h_b$,$h_c$ sean alturas de un triángulo con$h_b^2=h_a.h_c$ y$q = \frac{{{h_b}}}{{{h_a}}}$.

¿Cuál de los números 2 y 3 y 1.9 y 1.5 puede ser un valor de$q$?

Answer 1

Veamos. Los lados de un triángulo son inversamente proporcionales a sus alturas, por lo que también forman una secuencia geométrica con la misma proporción. Además, los lados están sujetos a la desigualdad del triángulo:$a<b+c$. Como$a=q^2\cdot c$ y$b=q\cdot c$, esto esencialmente significa$q^2<q+1$, o$q<\varphi$ (donde$\varphi$ es la proporción áurea). Entonces 1.5 haría, pero 1.9 y valores más grandes no.