¿Por qué el conjunto de todos los singleton establece que no existe?

Question

Proposición: Para un conjunto $X$ y su poder establecer $P(X)$, cualquier función de $f\colon P(X)\to X$ tiene al menos dos conjuntos de $A\neq B\subseteq X$ tal que $f(A)=f(B)$.

Puedo ver cómo esto podría ser cierto si $X$ es un conjunto finito, ya que $|P(X)|\gt |X|$, por lo que por el pidgeonhole principio, al menos dos de los elementos en $P(X)$ habría que asignar a un mismo elemento.

¿Esta es la propuesta que todavía se mantienen para $X$ un conjunto infinito? Y si es así, ¿cómo se demuestra que el conjunto de todos los singleton establece que no puede existir?

Answer 1

Si $x$ es un conjunto que contiene todos los embarazos únicos, $\cup x$ es un conjunto que contiene a todos los conjuntos, lo que conduce a Russel paradoja. Por lo tanto, en $ZF$ no hay tal $x$.

Answer 2

Si usted tenía una función $f\colon P(X)\to X$ tal que $f(A)=f(B)\Rightarrow A=B$, $f$ sería uno-a-uno, que implicaría $|P(X)|\leq |X|$; desde $|X|\lt |P(X)|$ mantiene por Cantor del Teorema, que le daría $|P(X)|\lt|P(X)|$, lo cual es imposible. Este argumento no hace uso de la finitud de $X$, por lo que tiene de $X$ infinito así.

Supongamos que la colección de todos los embarazos únicos es un conjunto $X$. Definir un mapa de $f\colon P(X)\to X$$f(A) = \{A\}$; esto está bien definido, ya que $\{A\}$ es un singleton. Si $A\neq B$,$\{A\}\neq\{B\}$, lo $f$ sería uno-a-uno. Dado que, por la proposición, esto es imposible, llegamos a la conclusión de que nuestra hipótesis de que la colección de todos los embarazos únicos es un conjunto debe ser falsa. Por lo tanto, no existe el conjunto de todos los embarazos únicos."

Answer 3

Si se acepta que la colección de todos los conjuntos (denotado por $V$ por lo general) no es un conjunto (pero en realidad, una clase adecuada) entonces, si nos fijamos en la función de $f(x) = \{ x \}$ es 1-1 de $V$ en los conjuntos de todos los embarazos únicos, de lo que resulta que el $V$ sería un conjunto, en contradicción con el hecho de que es en realidad una clase adecuada.

Pero, por supuesto, usted tendría que aceptar que $V$ es una clase adecuada así, es más sencillo, y sigue por el argumento en el de Arturo respuesta (que el poder establecido de $V$ sería de la misma cardinalidad).

Answer 4

Su presuposición es incorrecta; hay un número de conjunto de teorías (algunas de ellas seguramente equiconsistent con ZF) en el que el conjunto de todos los embarazos únicos existe; véase la Limitación de la teoría de conjuntos por medio de la simetría, o Forster Oxford Lógica de la Guía sobre el tema. (Descargo de responsabilidad: Forster describe mi trabajo en el libro, así que estoy casi imparcial, pero es el estándar de trabajo.)

Answer 5

A la pregunta del título es una consecuencia del axioma de regularidad. De hecho, Si había un conjunto de $X$,$\{X\}\in X$. Pero, obviamente, siempre tenemos $X\in\{X\}$. Por lo tanto, hemos de ser capaces de construir un infinito hacia abajo de la cadena de conjuntos que contradice el axioma de regularidad.