Considere una elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ tal que $a>b$ y su parametrización
$$\vec{r}(\phi)=a\cos\phi\ \hat{x}+b\sin\phi\ \hat{y}$$
donde $\phi\in[0,2\pi)$ . Considere también un enfoque en $\vec{f}=c\ \hat{x}$ , donde $c^2=a^2-b^2$ . El vector desde el foco hasta un punto de la elipse viene dado por
$$\vec{d}=\vec{r}-c\hat{x} = (a\cos\phi\ -c)\hat{x}+b\sin\phi\ \hat{y}$$
Del producto punto se deduce que,
\begin{align} d^2 &= a^2\cos^2\phi + b^2\sin^2\phi +c^2 -2ca\cos\phi \\ &= r^2 +c^2 -2ca\cos\phi \end{align}
Pero en el triángulo formado por los vectores, la Ley de los Cosenos da:
$$d^2 = r^2 +c^2 -2cr\cos\phi$$
Esto parece implicar que $r=a$ pero eso no siempre puede ser cierto. ¿Dónde se ha extraviado este argumento?
