Aproximación de funciones no medibles.

Question

Vamos $I = [0,1]$, $\phi, \psi: I \rightarrow \mathbb{R}$ funciones. Qué $\phi$ existen tales que cualquier $\psi$ la adhesión a los siguientes desigualdad no es medible: $$\sup_{x \in I} |\phi(x) - \psi(x)| \le 1?$$ Assuming so, is it possible to replace 1 with $C$ representing a non-negative constant (and are there any bounds on what value $C$ puede tomar)?

En particular, teniendo en $\psi = \phi$, este criterio debería obligar a $\phi$ a que no se pueden medir en sí. Además de arriesgarse de esta observación, estoy en una pérdida para el establecimiento de una $\phi$. Yo estaba tratando de trabajar con funciones características (es decir,para los que no se pueden medir conjuntos), ya que éstas pueden permitirse sorprendentemente-ejemplos útiles; nada cristalizado, aunque, quizá por eso me fui en una mala dirección. Espero que alguien visita el sitio me pueden ayudar aquí. La segunda pregunta es más una cuestión personal/ "filosófico" para la edificación. Gracias de antemano por cualquier ayuda que puede dar (parece realmente curioso que la teoría de la medida podría generar una función con tal propiedad)!

Answer 1

Deje que$E$ sea su conjunto favorito no medible. Tomar $\phi=(2C+1)\;1_E$. Luego, si$|\psi-\phi|\leq C$, tenemos $$ \ psi ^ {- 1} (C, \ infty) = E, $$ por lo que$\psi$ no es medible. El número$C$ puede ser cualquier constante positiva.

Answer 2

Deje $X = B([0,1])$ ser el espacio de Banach de todos los delimitada real de las funciones con valores en $[0,1]$, equipado con el supremum norma $||f|| = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$. Las funciones medibles $M$ es un subespacio cerrado de $X$, desde un límite uniforme de funciones medibles es medible. Por lo tanto el conjunto de no-medibles funciones está abierto. Si $f$ es no medible, a continuación,$d(f,M) := \inf_{g \in M} ||f-g|| > 0$. Desde $M$ es un espacio vectorial y la norma es homogénea, tenemos $d(af,M) = a d(f,M)$ para cualquier constante $a > 0$. Para tomar cualquier $a > C d(f,M)$,$d(af,M) > C$. Por lo $af$ tiene la propiedad que usted desea.

Esto demuestra que no sólo es tal que no se pueden medir de la función existe para cada una de las $C$, pero que las no mensurables puede adaptar la función que tienen esta propiedad.