Cociente de$\mathbb{R}$ por$2\pi \mathbb{Z}$

Question

Me gustaría ayuda para el problema:

Deje que el grupo de aditivos$2\pi \mathbb{Z}$ actúe en$\mathbb{R}$ a la derecha con$x · 2\pi n = x+2\pi n$, donde$n$ es un número entero. Demuestre que el espacio orbital$\frac{\mathbb{R}}{2\pi n\mathbb{Z}} $ es una variedad uniforme.

Probé que$\frac{\mathbb{R}}{2\pi n\mathbb{Z}} $ es malvado y segundo contable, pero no sé cómo encontrar un atlas, estaba pensando en$ \psi([x])=e^{ix}$ pero no sé cómo mostrar que esto es un homeomorfismo.

Answer 1

Esto es más fácil de hacer, en general, que en el caso especial, así que voy a generalizar. La mayoría de las reclamaciones por debajo de exigir la prueba, por el camino!

Supongamos $M$ es un buen colector y que $G$ es un grupo que actúa en $M$ sin problemas y correctamente de forma discontinua. Deje $N=M/G$ ser el cociente topológica del espacio y $\pi:M\to N$ el cociente mapa. Ya que la acción es propiamente discontinua, $N$ es Hausdorff y el mapa de $\pi$ está abierto -en particular, el segundo countability de $M$ implica que de $N$.

Vamos ahora a construir un atlas.

Deje $p\in M$. -Discontinuidad implica que hay un abrir vecindario $U\subseteq M$ $p$ tal que $U\cap gU=\emptyset$ todos los $g\in G\setminus\{1\}$. La restricción $\pi|_U:U\to N$ es un homeomorphism en su imagen, que se abre en $N$. Mediante la sustitución de $U$ por un menor abrir barrio de $p$, podemos suponer que no hay un gráfico de $\phi:V\to\mathbb R^n$ el (máximo) atlas de $M$$U\subseteq V$. Definimos $\psi_p=\phi\circ(\pi|_U)^{-1}:\pi(U)\to\mathbb R^n$.

Ahora el conjunto $\mathcal A=\{\psi_p:p\in M\}$ es un atlas en $N$.