Establecer aspectos teóricos de la teoría de categorías.

Question

Nunca he aprendido axiomático que la teoría de conjuntos, pero la han estudiado a partir de Munkres de Topología del libro primero capítulo. Así que no entiendo la diferencia entre una clase y un conjunto excepto en algún sentido vago. Ahora estoy dispuesto a aprender de la categoría de teoría y se han estudiado en el capítulo en Hungerford del libro. Pero este problema de clases vs conjuntos y los relacionados como cuando es una categoría pequeña está claro para mí. Lo que podría ser un buen lugar para el estudio de estos temas (no MacLane lidiar con ellos ?) en una adecuada forma lógica para el propósito de la comprensión de las categorías? No voy a especializarse en la lógica/teoría de conjuntos por lo que no estoy buscando la información más detallada de los libros.

He tomado cursos de pregrado en el Análisis, Topología y cursos de nivel de posgrado en el Álgebra.

Answer 1

Hay dos maneras de abordar esta cuestión, dependiendo de las bases de utilizar para las matemáticas. Una opción es hacer "clases" de los objetos matemáticos que existen formalmente. El otro es para el tratamiento de cualquier declaración que involucre la palabra "clase" como un informal abreviatura de una instrucción (o de vez en cuando, un número infinito de enunciados) que formalmente sólo se refiere a los conjuntos.

Cuando las clases no están dadas existencia formal, una clase de $\mathbf{C}$ puede ser pensado como la colección de todos los elementos $x$ en el universo que satisfacen alguna propiedad. (Voy a ser vaga acerca de lo que es una "propiedad"). Por ejemplo, para cualquier conjunto $A$, la colección de $\mathbf{C} = \{ x \mid A \subseteq x \}$ de todos los conjuntos que contengan $A$ es una clase. A continuación, un "informal" de la declaración como "$\forall x \in \mathbf{C}, B \cap x \ne \emptyset$" está considerada como una abreviatura de "$\forall x \ A \subseteq x \Longrightarrow B \cap x \ne \emptyset$."

Lo que es común a todos estos sistemas es que una afirmación como "$\mathbf{C} \in x$" o "$\mathbf{C} \in \mathbf{D}$," en la que una clase $\mathbf{C}$ es considerado como un elemento de otro conjunto o clase, se considera sin sentido (o, al menos, automáticamente false) si $\mathbf{C}$ es una clase adecuada (es decir, una clase que no sea un conjunto).

Para demostrar que una clase particular es en realidad un conjunto requiere el conocimiento de los axiomas de la teoría de conjuntos, ya que la mayoría de estos axiomas tomar la forma "tal y tal clase es un conjunto." En la práctica, por mucho, el más frecuentemente utilizado axioma esquema es el de la comprensión. Para cada "propiedad" $p$, usted tiene un axioma que dice que por cada conjunto de $E$, la clase $$\{ x \in E \mid p(x) \}$$ es un conjunto. En la mayoría de los casos, se tienen en cuenta todos los elementos de que algunos de los grandes establecer $E$ que satisfacen alguna propiedad, y que han sabido por mucho tiempo que el gran conjunto de $E$ era un conjunto, en lugar de una clase adecuada.

Dependiendo de la precisión que los axiomas de la teoría de conjuntos adoptado, los dos sistemas pueden hacerse equivalentes en el sentido de que un teorema mencionar sólo establece que se puede probar en un sistema si y sólo si se puede demostrar en el otro. El más estándar de la ruta, sin embargo, es para el tratamiento de conjuntos como los objetos sólo con la existencia formal.

Dugundji la Topología proporciona una breve introducción a los fundamentos en los que las clases son tratados como objetos que existen formalmente, pero donde el sistema funciona de manera equivalente para el enfoque estándar.

Las primeras páginas de Jech de la Teoría de conjuntos describir los fundamentos en los que las clases son informales objetos. Esto es más estándar.

Edit: Para que algo más en profundidad, usted puede comprobar fuera de este papel por Michael Shulman: http://arxiv.org/abs/0810.1279

Answer 2

Supongamos que sabemos lo que establece son, ingenuamente o de alguna manera más formal. Digamos que un conjunto $\mathcal U$ es un (Grothendieck) universo si las siguientes mantenga.

1. $x\in y\in\mathcal U\implies x\in \mathcal U$;
2. $x,y\in\mathcal U\implies \{x,y\}\in \mathcal U$;
3. $x\in\mathcal U\implies\mathcal P(x)\in \mathcal U$;
4. si $J\in\mathcal U$ $x_j\in\mathcal U$ todos los $j\in J$,$\bigcup_{j\in J}x_j\in\mathcal U$.

Entonces, uno puede mostrar que todo el conjunto de operaciones que se realizan sobre los elementos de la $\mathcal U$ resultado en elementos de $\mathcal U$. Por ejemplo, si $x,y\in\mathcal U$ $x\times y\in\mathcal U$, $x^y\in\mathcal U$, etc. De hecho, si se asume que el conjunto de los números naturales es un $element$$\mathcal U$, $\mathcal U$ es un modelo de la teoría de conjuntos, por lo que usted puede hacer todo "normal" de las matemáticas dentro de $\mathcal U$. Esto también significa que usted no puede probar la existencia de una $\mathcal U$ en el conjunto de la teoría, pero vamos a olvidarnos por un momento.

Supongamos que tenemos algunos universo $\mathcal U$. Llamamos a los elementos de $\mathcal U$ $\mathcal U$-conjuntos y subconjuntos de a $\mathcal U$ $\mathcal U$-clases. Observe que todos los $\mathcal U$- $\mathcal U$- clase (sigue de la condición (1) más arriba), pero no viceversa (considere el $\mathcal U$ sí). Entonces, uno puede definir un $\mathcal U$-categoría a ser una categoría cuyas colecciones de objetos y flechas $\mathcal U$-clases. Esta categoría es pequeño cuando estas colecciones se $\mathcal U$-conjuntos.

Hay varias maneras de utilizar estos universos. Una poderosa manera es asumir que cada conjunto está contenida en algunos universo. A continuación, en particular, ya que se define un universo para ser un juego en sí, se obtiene una cadena de universos $\mathcal U_0\in\mathcal U_1\in\mathcal U_2\in\dotsb$, y cada vez que nuestras categorías se vuelven demasiado grandes para ser (pequeño) $\mathcal U_n$-categorías podemos simplemente cambiar a una más grande del universo.

Si lo anterior suena demasiado, usted puede simplemente asumir la existencia de un universo $\mathcal U$ que contiene los números naturales. [Estoy un poco inseguro acerca de los detalles, pero creo que este debería ser el equivalente a asumir que nuestro estándar de la teoría de conjuntos ZFC es consistente. Me corrija si estoy equivocado.] Entonces, en lugar de llamar a los elementos de $\mathcal U$ $\mathcal U$-los sets, se llaman simplemente conjuntos (o pequeños conjuntos), y llamar a los subconjuntos de a $\mathcal U$ de las clases. Al menos para los fines de la categoría de la teoría, esto es una perfectamente buena manera de definir conjuntos y clases. Además, cuando de repente ves que necesitas más categorías, usted puede simplemente asumir un mayor universo y continuar ;)