Sea $C^1[0,1]$ el espacio de funciones continuas de valor real en $[0,1]$ con derivada continua. Sea $D:C^1[0,1]\to C[0,1]$ el operador de diferenciación dado por $D(f)(x)=f^\prime(x),\forall x\in [0,1]$. Supongamos que ambos espacios tienen la norma sup $\|.\|_\infty$. Ahora es necesario demostrar que $D$ no es continuo. Lo siguiente es mi intento:
$D$ es un operador lineal por las propiedades de la diferenciación. Por lo tanto, $D$ es continuo si y solo si $D$ está acotado en $C^1[0,1]$. Supongamos que $D$ está acotado. Entonces existe $k>0$ tal que para cada $f\in C^1[0,1]$, $\|D(f)(x)\|_\infty\leq k\|f(x)\|_\infty$, es decir, $\|f'(x)\|_\infty\leq k\|f(x)\|_\infty$. Consideremos la función $g(x)=\sin(357kx)$ para cada $x\in[0,1]$. Claramente $g\in C^1[0,1]$. Por lo tanto, $357k\leq\|g'(x)\|_\infty\leq k\|g(x)\|_\infty \leq k\cdot1=k$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $D$ no está acotado y por lo tanto no es continuo.
¿Podría alguien decirme si mi argumento es correcto? Gracias.
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Está bien. -- Alternativamente (y de manera más directa, si lo prefieres), $f_n(x)=\frac1n\sin nx$ tiende a 0 en la norma $\infty$, pero $f_n'=\cos nx$ no lo hace