¿Qué es lo que hace que algo sea una paradoja? Me parece que las paradojas son sólo, en muchos casos, malentendidos sobre las propiedades que puede tener algún objeto y, por tanto, malentendidos sobre las definiciones. ¿Hay algo que se me escape? ¿Cómo se maneja este tipo de pensamiento en la lógica?
Respuestas
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"Paradoja" no es un término formalmente definido. Muchos autores modernos utilizan "paradoja" para todo tipo de resultados sorprendentes o inesperados; puedes ver ejemplos buscando "paradoja" en Google News.
Un uso más sustancial de la palabra "paradoja" se refiere a un resultado que muestra que una determinada intuición ingenua no es sólida. Por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski muestra que no es posible tener una medida de volumen para subconjuntos arbitrarios del espacio euclidiano, si esa medida satisface ciertas propiedades básicas como la invariabilidad bajo movimientos rígidos y la aditividad finita. Esto va en contra de un cierto pensamiento ingenuo de que todo subconjunto del espacio euclidiano debe tener un volumen bien definido (puede ser 0 para conjuntos de puntos extrañamente definidos, pero al menos debería estar definido, diría esta intuición).
Las paradojas clásicas de la lógica (también llamadas "antinomias") son algo diferentes porque muestran que nuestra intuición sobre la propia lógica no es válida. En particular, muestran que las formas ingenuas en que hablamos de "verdad" y "conjuntos" en el lenguaje natural conducen a contradicciones. Un ejemplo es La paradoja de Curry que muestra que la forma ingenua de demostrar las afirmaciones "si/entonces" en las matemáticas normales puede llevar a resultados falsos cuando se combinan con oraciones autorreferenciales (incluso cuando no hay negación en las oraciones).
Lo que hace que las paradojas clásicas sean más genuinas paradójico es que es difícil ver de dónde viene el problema, o alguna forma directa de resolverlo. Consideremos la frase de la paradoja de Curry
Si esta frase es verdadera, entonces 0 = 1
Podemos demostrar esta frase de la forma habitual: asumir la hipótesis "esta frase es verdadera" y demostrar que la conclusión debe seguirse. Así es como se demuestran muchas otras implicaciones en matemáticas. Pero entonces, como la frase es verdadera, su hipótesis es verdadera, por lo que su conclusión también debe ser verdadera: 0=1. Es muy difícil encontrar una hipótesis oculta en este argumento, como ocurre con la "paradoja" de Banach-Tarski.
Una resolución en matemáticas es refugiarse en la lógica formal, donde la autorreferencia de la frase citada es imposible. Pero eso no resuelve la cuestión de que la frase parece ser un inglés perfectamente claro y, sin embargo, aplicar los métodos habituales a ella conduce a una contradicción.
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Dos reflexiones que añadir a la buena respuesta de Carl Mummert. Él escribe que un uso serio del trabajo de la "paradoja"
se refiere a un resultado que demuestra que una determinada intuición ingenua no es sólida.
Tal vez sea un poco mejor, como de hecho muestran sus propios ejemplos, decir que las paradojas interesantes son casos en los que tenemos una grupo de intuiciones ingenuas, que el razonamiento paradójico muestra que no pueden ser todas verdades juntas, aunque tomadas por separado las intuiciones siguen pareciendo bastante convincentes. Por eso las paradojas interesantes (como la paradoja del mentiroso, por poner otro ejemplo) pueden ser tan recalcitrantes: parecen mostrar que tenemos que renunciar a algunos intuición preteórica, pero puede ser bastante poco evidente cuál es el mejor candidato para la revisión. Así que tenemos que empezar a explorar los costes y beneficios de las diferentes revisiones, y en muchos casos, las complicaciones se ramifican.
Puede que le interese, por ejemplo, ver http://plato.stanford.edu/entries/liar-paradox/ para ver una discusión de las ramificaciones de la Paradoja del Mentiroso; o para otro ejemplo podría intentar http://plato.stanford.edu/entries/sorites-paradox/
La misma enciclopedia en línea realmente excelente (generalmente muy fiable en cuestiones lógicas) también tiene un buen artículo sobre el papel de varias paradojas en el desarrollo de la lógica moderna: http://plato.stanford.edu/entries/paradoxes-contemporary-logic/
Que lo disfrutes.
MJD
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Quizá le guste el ensayo de W.V.O. Quine "Los caminos de la paradoja", que trata de responder a muchas de las mismas preguntas. Quine sugiere al principio:
¿Podemos decir entonces, en general, que una paradoja es cualquier conclusión que a primera vista parece absurda pero que tiene un argumento que la sostiene? Al final, creo que esta explicación se sostiene bastante bien.
Esto concuerda bien con los comentarios de Carl Mummert en otra parte de este hilo de que "los autores modernos utilizan "paradoja" para todo tipo de resultados sorprendentes o inesperados" y "'paradoja' se refiere a un resultado que demuestra que una determinada intuición ingenua no es sólida".
Obsérvese que esta definición deja abiertas las posibilidades de que el argumento sustentador sea correcto o incorrecto. En el primer caso, Quine llama a la paradoja "verídica", en el segundo caso, "falsa". ("Las típicas paradojas falsas son las cómicas pruebas erróneas que $2=1$ .")
Tú lo has dicho:
Me parece que las paradojas son sólo, en muchos casos, malentendidos sobre las propiedades que puede tener algún objeto y, por tanto, malentendidos sobre las definiciones.
Dicho así, todo parece muy sencillo. El problema es que las propiedades pueden parecer muy simples, y los malentendidos pueden ser muy profundos, y puede ser difícil entender cómo la cosa puede ser errónea por un lado y tan aparentemente simple por otro. Tu palabra "sólo" aleja las dificultades. Quine discute la paradoja de Grelling en este contexto. Decimos que los adjetivos pueden ser verdaderos de las cosas; por ejemplo, el adjetivo "rojo" es verdadero de las cosas rojas, o "polisilábico" es verdadero de las cosas polisilábicas, y de las palabras polisilábicas en particular. Grelling nos pide que consideremos el adjetivo "heterológico", que significa "no verdadero por sí mismo". El adjetivo "rojo" es heterológico, porque es una palabra, y las palabras no tienen colores, por lo que el adjetivo "rojo" no es rojo. Pero "polisilábico" es una palabra polisilábica y, por tanto, no es heterológico. Puedes adivinar el siguiente paso: ¿"heterológico" es heterológico?
Según usted, esto es "sólo" un malentendido sobre las propiedades que puede tener algún objeto. ¿Cuál es el malentendido? ¿Es un malentendido cuando se puede decir que ciertos adjetivos son verdaderos de las cosas? (Este es el punto de vista de Quine.) Si es así, ¿cuál es el malentendido? Si hay algo malo con "heterológico", ¿qué es, exactamente, y si lo descalificas, qué te impide descalificar también "polisilábico" o "rojo"?
Quine dice:
Sin embargo, el principio [de que un adjetivo es verdadero de las cosas que describe] refleja tan fielmente lo que queremos decir al llamar a los adjetivos verdaderos de las cosas, que no podemos abandonarlo sin abjurar de la propia expresión 'verdadero de' como un pernicioso sinsentido.
Su ensayo termina:
De todas las formas de las paradojas, tal vez la más pintoresca sea su capacidad de resultar en ocasiones mucho menos frívolas de lo que parecen.
