Dejemos que $f$ sea una función entera. Considere $A=\{z \in \Bbb{C} : f^{(n)}(z)=0\; \text{for some}\; n \in \Bbb{N}\}$ . Entonces, ¿cómo demostrar si $A=\Bbb{C}$ entonces $f$ es un polinomio ?
Esto es lo mismo que demostrar si $f$ no es un polinomio entonces $A$ no es todo $\Bbb{C}$ .
Muestro la afirmación anterior con un ejemplo particular, como $f(z)=\sin z$
¿Cómo demostrarlo en general? ¿Alguna idea?
Supongamos que $A=\mathbb{C}$ queremos demostrar que $f$ es un polinomio. Sea $X_n=\{x\in \mathbb{C}: f^{(n)}(x)=0\}$ . Si sabemos que uno de los $X_n$ contiene una bola abierta entonces por la propiedad de la función entera $f^{(n)}=0$ en todas partes. Ahora supongamos que $X_n$ no son densos en ninguna parte así que $\mathbb{C}=\cup_{i=0}^{\infty}X_i$ pero eso no es posible por el teorema de la categoría Baire.
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$A=\bigcup_n A_n$ con $A_n=\{z:\ f^{(n)}(z)=0\}$ . Desde $\mathbb{C}$ es incontable, entonces al menos uno de los $A_n$ es incontable. Tal $A_n$ debe acumularse en algún punto diferente de $\infty$ . Por lo tanto, $f^{(n)}$ es constante igual a cero.
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@arugula Creo que la tuya es la mejor solución hasta ahora ya que no depende de Baire. Por qué no la escribes como respuesta.
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Otra más: math.stackexchange.com/q/1153578/42969