Transformada de Fourier de la función gamma compleja.

Question

Me pregunto si se sabe cómo evaluar la transformada de Fourier de la función Gamma compleja, es decir, $$ \ frac {1} {\ pi} \ int_0 ^ \ infty {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ , t \, x} \; \ Gamma (1+ \ mathrm {i} \, t) \; \ mathrm {d} t}, \ quad x \ in \ mathbb {R}. $$ Intenté todo tipo de sustituciones y representaciones integrales / sumas para cualquiera de los factores, pero no parece funcionar fácilmente. A menudo parece que encuentro un doble exponencial$\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-r}+r}$ en una forma u otra.

Muchas gracias.

Answer 1

La parte real de la integral se obtiene con facilidad gracias a la transformada de Fourier (ver anexo). La parte imaginaria conduce a una mayor cantidad de dificultades. Nosotros aún no sabemos si una forma cerrada existe.

La siguiente fórmula muestra que la parte imaginaria se expresa como un Valor Principal de Cauchy. Dudo que una simple forma cerrada se pudiera derivar.

Los tests numéricos están en muy buen acuerdo con esta fórmula. Lo siento, yo no actualmente publicar la analítica cálculo que conduce a la parte imaginaria porque todavía queda un resto de teóricos de la dificultad.

[Errata corregida en la fórmula : 1/pi faltaba ]

Answer 2

Esta es una respuesta a mi propia pregunta. El uso de la simple expansión de la serie de potencias de la función exponencial y el reconocimiento de los términos resultantes como A000587 lleva a$e^{-x-e^{-x}}$ para la parte real de la integral.