¿Es correcta mi analogía de una derivada direccional?

Question

Para mí, las analogías con la vida real son una buena forma de entender algunos grifos del cálculo multivariante, y una analogía equivocada puede ser un indicio exacto y flagrante de incomprensión.

Hasta donde yo sé, en el espacio 3D, no hay derivada total porque hay un espacio de entrada en lugar de línea, y así la salida $z$ ya no depende de una sola variable: la velocidad de cambio de un corte de una superficie en el espacio euclidiano depende del corte de la superficie que tomemos. Por ejemplo, si un patinador, a vista de pájaro, está directamente a la izquierda de una colina por la que puede bajar y a la derecha de una rampa por la que puede subir, y si más arriba el $y$ desde la ubicación del patinador (por encima y por debajo de la colina y la rampa respectivamente) es sólo asfalto plano, entonces si $x, y$ y $z$ representa la longitud y el origen está centrado en la ubicación del patinador, la tasa de cambio de $z$ (elevación) será diferente a medida que el monopatín se desplaza $x$ a cierta velocidad dependiendo de dónde se encuentre -- no cambia en el asfalto plano por encima de él, pero cambia si se mueve entre la colina y la rampa. Por eso, no hay una derivada total, sino una diferente por cada trozo de $y$ . Y como tal, necesitamos derivadas parciales -- encontrar la derivada con una constante $y$ y luego tomando el caso general en el que $y$ es alguna constante -- entonces si tenemos $x$ y $y$ podemos calcular la derivada en ese corte.

Las Derivadas Direccionales parecen tan arbitrarias como pasar de diferenciar parcialmente a lo largo de alguna recta $x$ o $y$ y aplicándolo para que algún vector arbitrario $\vec v$ . Yo lo veo análogo al escenario de antes, pero estando la rampa, digamos, por encima y a la izquierda del patinador (a vista de pájaro, así que $+y$ y $-x$ lejos). Si se toma la derivada direccional de un vector que hace que el patinador suba por la rampa, se obtendrá una relación diferente con $z$ si el vector de velocidad fuera algún vector arbitrario moviéndose sobre asfalto plano una vez más.

Por favor, critiquen mi comprensión señalando los fallos de mis analogías si los hay, lo cual es ciertamente probable.

Answer 1

Parece que vas por buen camino. La idea de que la pendiente es diferente en cada dirección es exactamente por lo que necesitamos derivadas direccionales y derivadas parciales. Y las derivadas parciales son un caso especial de las derivadas direccionales como has dicho.

En cuanto a las críticas, los únicos puntos menores que veo en tu explicación son (1) el término "derivada total" tiene un significado especial en ciertos contextos, así que ten cuidado con eso. Creo que una forma mejor de decir lo que querías decir es que la derivada no se describe con un único escalar, sino con uno para cada dirección, y (2) si hay un recodo donde empieza la rampa, de forma que ahí hay un cambio brusco de pendiente, decimos que no es diferenciable en ese punto. Esto se debe a que si el patinador se mueve hacia atrás, la pendiente es distinta de si se mueve hacia delante, lo que no está permitido. Esto es análogo a tener límites separados a derecha e izquierda en calc de una sola variable.

Por lo demás, tienes razón.