¿Por qué no hay$B$ componente de aceleración en mi clase de Cálculo Multivariable?

Question

En nuestra clase, hemos aprendido que se puede dividir la aceleración, $\mathbf{a}$, de una partícula en dos conveniente componentes, así:

$$\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N}$$

Donde $a_T$ es el "componente tangencial" de la aceleración, $a_N$ es el "componente normal", y $\mathbf{T}$ $\mathbf{N}$ son la unidad de la tangente y de la unidad de vectores normales a la curva de $\mathbf{r}(t)$, respectivamente.

Pero también hemos aprendido anteriormente sobre un tercer tipo de vector, $\mathbf{B}$ - el "vector binormal" - que es ortogonal tanto a $\mathbf{N}$$\mathbf{T}$.

¿Por qué no la fórmula así

$$\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N} + a_B\mathbf{B}?$$

Nota: sé que el vector binormal $\mathbf{B}$ no es generalmente definido como un vector unitario a efectos de Cálculo Multivariable clases. Pero en este caso, sólo se supone $\mathbf{B}$ representa la unidad de vector binormal, y que $a_B$ representa la "binormal componente" de la aceleración.

Tengo la leve sospecha de que el tope máximo, $\mathbf{j} = \mathbf{r}^{(3)}(t)$, de la partícula que se mueve a lo largo de $\mathbf{r}(t)$ es, de hecho, definida por

$$\mathbf{j} = j_T\mathbf{T} + j_N\mathbf{N} + j_B\mathbf{B}.$$

...ya, bien,

$$\mathbf{v} = \Vert\mathbf{v}\Vert\mathbf{T} = v_T\mathbf{T}$$

y

$$\mathbf{a} = a_T\mathbf{T} + a_N\mathbf{N};$$

Parece que cada nuevo pedido de derivados tomados de $\mathbf{r}(t)$ agrega a la ecuación de un nuevo componente ortogonal de movimiento. Si ese es el caso, ¿por qué??

Answer 1

Primero, una nota a la nota: la forma en que el vector binormal $\mathbf{B}$ está definido, es automáticamente un vector unitario (siempre y cuando esté bien definido); pero por alguna razón histórica (que no sé) la palabra "unidad" no es utilizada en su nombre. Más específicamente, $\mathbf{B}=\mathbf{T}\times\mathbf{N}$$\|\mathbf{B}\|=\|\mathbf{T}\|\|\mathbf{N}\|\cos(\pi/2)=1\cdot1\cdot1=1$.

Respecto a tu primera pregunta: de hecho, se puede decir que el $\mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}+a_B\mathbf{B}$, debido a que los tres vectores $\mathbf{T}$, $\mathbf{N}$, y $\mathbf{B}$ (cuando están bien definidos) forman una base ortonormales. Pero resulta que $a_B=0$ siempre, de ahí la expresión normalizada $\mathbf{a}=a_T\mathbf{T}+a_N\mathbf{N}$.

¿Por qué es $a_B=0$? Supongo que has leído en los cálculos que conducen a esta fórmula, en lugar de eso voy a tratar de describir mi personal forma de entender intuitivamente. Los dos vectores $\mathbf{v}=\mathbf{r}'(t)$ $\mathbf{a}=\mathbf{r}''(t)$ normalmente abarcan un plano (a menos que sean colineales o uno es cero), llamado el osculating plano. Así que para describir cualquier vector en el plano sólo tenemos dos vectores de la base. Y $\mathbf{T}$ $\mathbf{N}$ hacer eso — forman una base ortonormales para este avión. Vamos a necesitar una tercera base de vectores $\mathbf{B}$ para cualquier vectores que salen de este plano, como $\mathbf{r}'''(t)$, por ejemplo, que puede o no puede estar en el mismo plano.