Existencia de una portada Cech para la informática del grupo Picard.

Question

Deje que$X$ sea una variedad: se puede calcular$\text{Pic}(X) = H^1(X, \mathcal{O}^*_X)$ al elegir una cubierta Cech que sea acíclica con respecto a$H^\bullet(-, \mathcal{O}^*)$.

¿Se puede hacer esto siempre? Me parece que la respuesta es no. Por ejemplo, tome el cono cuadrático$X = \text{Spec} k[x,y,z]/xy-z^2$. $\text{Pic}(X)$ es generado por las dos resoluciones, y parece que no hay una apertura distinguida que contenga cero, lo que elimina una decisión. ¿Suena esto correcto?

¿Hay caracterizaciones conocidas para cuando es posible encontrar una portada de Cech?

Answer 1

1) Contrario a lo que crees, tu cono tiene cero Picard grupo: Hartshorne Ejemplo 6.11.3, página 142.
2) sin Embargo, su intuición básica es correcta, usted no puede encontrar Čech cubre acíclicos para $\mathcal O^*$ en general.

Por ejemplo, un completo proyectiva suave curva de $\bar C$ de género $\gt 0$ y eliminar un punto, la obtención de los afín a la curva de $C$.
Cualquier subconjunto $U\subset C$ se obtiene mediante la eliminación de un número finito de puntos de $C$ y un $U$ tiene un enorme grupo de Picard, muy cerca de la $Pic(\bar C)$, que es un $g$-dimensiones abelian variedad.
En conclusión $C$ no tiene tapa que consiste en abrir los subconjuntos acíclicos para $\mathcal O^*$.