Equivalencia de las definiciones de $L_\infty$ norma a través del rango esencial y el supremum esencial

Question

Tengo las siguientes dos normas para funciones de valor complejo mesurables $f \colon X\to \mathbb{C}$ :

$$\|f \|_1 := \inf \big\{ c \geq 0 \colon \mu (\{ x \in X \colon |f(x)| > c \}) = 0 \big\}$$ y $$\|f\|_2 := \sup \big\{ |\lambda| \colon \lambda \in r_{\mathrm{ess}}(f)\big\},$$ donde $$ r_{\mathrm{ess}}(f) := \big\{\lambda \in \mathbb{C} \colon \forall \varepsilon > 0: \mu(f^{-1}(B_\varepsilon(\lambda)) > 0 \big\},$$ donde $B_\varepsilon(\lambda)$ denota la bola abierta de radio $\varepsilon$ centrado en $\lambda$ .

Es fácil demostrar que $\|f\|_2 \leq \|f\|_1$ pero no he podido demostrar lo contrario. ¿Alguna sugerencia?

Creo que el problema se reduce a demostrar que $\mu\big(\;f^{-1}(\mathbb{C} \setminus r_{\mathrm{ess}}(f))\big) = 0$ .

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EDITAR

Una posible prueba podría ser así:

Agotamos el conjunto $S := \mathbb{C} \setminus \overline{ B_{\|f\|_2}(0)}$ en dos pasos: En primer lugar, para todos $m \in \mathbb{N}$ por annuli $$ S_{m,n} := S_{\|f\|_2 + \frac{1}{m}, \|f\|_2 + n} := \bigg\{ \lambda \in \mathbb{C} \colon \|f\|_2 + \frac{1}{m} \leq |\lambda | \leq \|f\|_2 + n\bigg\} $$ con $\mu(f^{-1}(S_{m,n})) = 0$ es decir, para $$ S_m := \bigcup_{n \in \mathbb{N}} S_{m,n} $$ obtenemos $\mu(f^{-1}(S_{m})) = 0$ .

En segundo lugar, al considerar $$ S = \bigcup_{m \in \mathbb{N}} S_{m} $$ mostramos la reclamación.

Prueba . Sea $m,n$ se le dará. Entonces, para todos los $\lambda \in S_{m,n}$ existe $\varepsilon_\lambda > 0$ tal que $$\mu\bigg(\big\{f^{-1}\big(B_{\varepsilon_\lambda}(\lambda)\big)\big\}\bigg) = 0.$$

Pero $S_{m,n}$ es compacto, es decir, obtenemos $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ tal que $$ S_{m,n} \subseteq \bigcup_{i = 1,\dots,k} B_{\varepsilon_{\lambda_i}} (\lambda_i). $$ Por lo tanto (asumiendo la integridad de $\mu$ ) tenemos que $f^{-1}(S_{m,n})$ es un conjunto de medida cero, así como la unión contable de todos los $S_{m,n}$ pour $n \in \mathbb{N}$ . Por lo tanto, para todos $m \in \mathbb{N}$ los conjuntos $f^{-1}(S_m)$ son de medida cero y el hecho de que $S = \bigcup_{m \in \mathbb{N}}$ da la afirmación: Tenemos $$\mu (\{ x \in X \colon |f(x)| > \|f\|_2 \}) = 0$$ es decir $\|f\|_2 \geq \|f\|_1$ . $\square$

¿Qué te parece?

Answer 1

Creo que el problema se reduce a demostrar que $\mu\big(\;f^{-1}(\mathbb{C} \setminus r_{\mathrm{ess}}(f))\big) = 0$ .

Estrictamente hablando, es un poco más de lo necesario. Con $s = \lVert f\rVert_2$ , mostrando

$$\mu\Bigl(f^{-1}\bigl(\mathbb{C}\setminus \overline{B_s(0)}\bigr)\Bigr) = 0\tag{1}$$

es lo que se necesita precisamente para demostrar $\lVert f\rVert_1 \leqslant \lVert f\rVert_2$ . Y eso es exactamente lo que ha demostrado correctamente en su edición.

Permítanme añadir una prueba de

$$\mu\bigl(f^{-1}(\mathbb{C} \setminus r_{\mathrm{ess}}(f))\bigr) = 0$$

sin embargo. Por definición de la gama esencial, si $\lambda \notin r_{\text{ess}}(f)$ , entonces hay un $\varepsilon_{\lambda} > 0$ tal que $\mu\bigl(f^{-1}(B_{\varepsilon_{\lambda}}(\lambda)\bigr) = 0$ . Para $\lambda' \in U := B_{\varepsilon_{\lambda}}(\lambda)$ la pelota $B_{\delta}(\lambda')$ , donde $\delta = \varepsilon_{\lambda} - \lvert \lambda' - \lambda\rvert > 0$ está contenida en $U$ Por lo tanto $\mu\bigl(f^{-1}(B_{\delta}(\lambda')\bigr) \leqslant \mu\bigl(f^{-1}(U)\bigr) = 0$ y así $\lambda' \notin r_{\text{ess}}(f)$ . Así, $U \cap r_{\text{ess}}(f) = \varnothing$ y hemos demostrado

El rango esencial de una función medible es cerrado.

La elección de un $\varepsilon_{\lambda} > 0$ como en el caso anterior para cada $\lambda \notin r_{\text{ess}}(f)$ , obtenemos una tapa abierta

$$\mathscr{U} = \bigl\{ B_{\varepsilon_{\lambda}}(\lambda) : \lambda \in \mathbb{C}\setminus r_{\text{ess}}(f)\bigr\}$$

de $\mathbb{C}\setminus r_{\text{ess}}(f)$ . Desde $\mathbb{C}$ es segundo contable, esta cubierta abierta tiene una subcubierta contable, por lo que existe una secuencia $(\lambda_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que

$$\mathbb{C}\setminus r_{\text{ess}}(f) = \bigcup_{n = 0}^{\infty} B_{\varepsilon_{\lambda_n}}(\lambda_n).$$

Entonces

$$f^{-1}\bigl(\mathbb{C}\setminus r_{\text{ess}}(f)\bigr) = \bigcup_{n = 0}^{\infty} f^{-1}\bigl( B_{\varepsilon_{\lambda_n}}(\lambda_n)\bigr)$$

es una unión contable de $\mu$ -Los conjuntos nulos.