Una existencia de una extensión de Kan correcta.

Question

Vamos $M$, $C$ y $A$ categorías. La siguiente declaración es bien conocida.

Si $M$ es pequeña y $A$ es completa, entonces cualquier functor $T:M \to A$ ha un derecho Kan extensión a lo largo de cualquier $K:M \to C$.

Esta declaración se puede encontrar en la página 239 de "Categorías para el Trabajo Matemático" (por Mac Lane). En este libro, la declaración es un corolario de un teorema diciendo que un derecho Kan extensión puede ser obtenido como un límite para un cierto functor $(c \downarrow K) \to A$ siempre que los límites existen para todos los objetos de $c$$C$.

Mi pregunta es: ¿por qué no hay necesidad de suponer que $C$ a nivel local es pequeño?

Si $A$ es completa, entonces cualquier pequeño diagramas en $A$ tienen límites en $A$, por definición. Por lo tanto queremos que $(c \downarrow K)$ a de ser pequeño. Pero, para un objeto $m$$M$, la colección de flechas $\{\alpha:c\to K(m)\}$ podría no ser un conjunto, a menos que $C$ a nivel local es pequeño. ¿Cómo podemos evitar este problema?

Answer 1

Deje $\mathcal{M} = \mathbb{1}$ ser el terminal de la categoría, vamos a $\mathcal{A}$ ser un local pequeño de la categoría, y deje $\mathcal{C}$ ser una categoría con dos objetos $c$, $d$, tal que el único no-trivial de morfismos en $\mathcal{C}$ los $c \to d$. Un functor de $\mathcal{M}$ es lo mismo que elegir un objeto, por lo que hay un functor $K : \mathcal{M} \to \mathcal{C}$ imagen $d$. Supongamos $\mathcal{A}$ tiene un objeto $a$ tal que, para algunos,$b$$\mathcal{A}$, existen al menos dos morfismos $b \to a$. Deje $T : \mathcal{M} \to \mathcal{A}$ ser el functor de picking $a$.

Supongamos $\mathcal{C}(c, d)$ es una clase adecuada. Yo reclamo el derecho Kan extensión de $T$ a lo largo de $K$, si es que existe, es que no se calcula por el citado límite. De hecho, tenga en cuenta que la coma categoría $(c \downarrow K)$ es un gran categoría discreta (es decir, hay una clase adecuada de los objetos, pero todos los morfismos son triviales), por lo que el límite de $$(c \downarrow K) \to \mathcal{M} \to \mathcal{A}$$ por lo tanto debe ser el producto de $\mathcal{C}(c, d)$-muchas copias de $a$. Sin embargo, ningún producto puede existir: si $e$ eran de un producto, a continuación, $$\mathcal{A}(b, e) \cong \mathcal{A}(b, a)^{\mathcal{C}(c, d)}$$ pero el lado derecho es una clase adecuada, ya que $\mathcal{A}(b, a)$ tiene al menos dos elementos y $\mathcal{A}$ a nivel local es pequeño.

Esto no excluye la posibilidad de que el derecho Kan extensión existe por otras razones–, pero si lo hace, entonces sabemos muy poco acerca de él, porque no se calcula por los medios habituales. Por lo tanto, debemos concluir que el citado teorema requiere de $\mathcal{C}$ a nivel local pequeño, o al menos, de que $\mathcal{A}$ tiene límites para algunos diagramas de gran tamaño.