Dado$a_1 \ge \cdots \ge a_n$ y$b_1 \ge \cdots \ge b_n$, entonces mostrar$\sum a_ib_{\pi(i)}$ es máximo cuando$\pi=id$.

Question

Supongamos que$a_1 \ge \cdots \ge a_n$ y$b_1 \ge \cdots \ge b_n$ son dos secuencias de números reales positivos. Luego, muestre que$\sum a_ib_{\pi(i)}$ es máximo cuando$\pi=id$. Aquí, $\pi \in S_n$.

Entiendo que hay muchas sumas de productos, una debido a cada permutación. Tengo que encontrar el que da el máximo valor. No tengo ni idea de cómo proceder. ¿Alguien puede dar una pista?

Answer 1

Sugerencia: suponga que tiene dos términos que están fuera de orden según la permutación, es decir,$a_i > a_j$ y$b_{\pi (i)} \leq b_{\pi (j)}$. Luego, muestre que al intercambiar estos valores de permutación, es decir, intercambiar los valores de$\pi(i)$ y$\pi(j)$, puede obtener una permutación que produce un valor más alto de su función.

Answer 2

Creo que esto es un poco trivial por la desigualdad de reorganización .

Tienes, por RI,

PS

Esto es lo mismo que$$\sum_{k=1}^n a_kb_k\geq \sum_{k=1}^n a_kb_{\pi(k)}\implies \sum_{k=1}^n a_kb_{\pi(k)}\leq \sum_{k=1}^n a_kb_k$