Es $1 : 7 = 1 / 8$ o es $1/7$?

Question

En un cierto (no matemáticas) de Intercambio de la Pila, cuando escribí $n : m = n / m$ donde $n$ $m$ son enteros positivos, uno de los moderadores dijo "¡No! $n : m$ es generalmente la notación para "$n$ partes en $(n + m)$ piezas vs $m$ partes en $(n + m)$ partes, lo que significa $n / (m + n)$." Y muchos de los participantes estuvo de acuerdo con eso y siguió diciendo que yo estaba equivocado.

Mi pregunta es...

Es allí cualquier fondo, educativos decir, que hace que insistente? Primero pensé que me iba a mostrar la definición de colon ideales para convencerlos de su falsa fe, pero en el segundo pensamiento llegué a la conclusión de que habría empeorado las cosas.

* añadido * Tener un vistazo a la respuesta por el sueño, creo que tengo que añadir el contexto.

Alguien le preguntó a proporcionar aclaraciones (=traducción) de cierto pasaje de una ficción que se ejecuta como "la (media) de la física de la capacidad/habilidad de una especie humana es una séptima parte de la de un vampiro." Como el original appeder preguntó si una séptima = $1 : 7$, me dijo: "sí, una séptima $= 1 : 7 = 1 / 7$." Luego vino el frenesí.

Por lo tanto yo no tenía idea de por qué el moderador trajo $8 = 1 + 7$ (hay ningún punto en "agregando que" la capacidad/habilidad de los humanos y la del vampiro en el debate!?)

* añadido (nuevo) * Muchas gracias por compartir conmigo su tiempo. He marcado @Hans Lundmark la respuesta como la mejor, porque él me señaló a la evidencia histórica. Y agradezco a los demás, especialmente aquellos que señaló que el estimado moderador podría haber confundido con la mera relación con odds y probabilidades,

Answer 1

Si hay ocho personas y $1$ de ellos es alto y el resto a corto, a continuación, la relación de altura a la gente para la gente de baja estatura es $1:7$. Sin embargo, la proporción de personas altas para todas las personas es $1:8$.

Yo diría que tiene más sentido para relacionar $1:7$ $\frac{1}{8}$ porque implica $\frac{1}{8}$ del total satisfacen la propiedad.

Por otro lado se podría decir $1:7=\frac{1}{7}$ porque significa que el número de altas de personas es un séptimo de la del resto, aunque esto es menos natural, en mi opinión.

Answer 2

Usted tiene buenas razones históricas para la interpretación de la $n:m$$n/m$.

De http://jeff560.tripod.com/operation.html:

Los dos puntos (:) se utilizó en 1633, en un texto titulado Johnson Arithmetik; En dos libros tal y (2ª ed.: Londres, 1633). Sin embargo, Johnson sólo se utiliza el símbolo para indicar fracciones (por ejemplo, tres cuartas partes fue escrito 3:4); él no usar el símbolo de división "disociada de la idea de una fracción" (Cajori vol. 1, página 276).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) utilizado : para la relación y la división en 1684, en las Acta eruditorum (Cajori vol. 1, página 295).

En Cajori del libro (Una Historia de Notaciones Matemáticas, disponible en Google Libros) hay algunas declaraciones interesantes. Por ejemplo:

Hay quizás no hay símbolos que son completamente atento de las fronteras políticas, como son ÷ y : como símbolos de la división. El ex pertenece a Gran Bretaña, el dominio Británico, y los Estados unidos. Este último pertenece a la Europa Continental y los países de América latina.

Pero tal vez se debe añadir que sólo porque algo se usó una vez, no es necesariamente una buena idea guardar el usar de él. Aunque el colon notación para la división vivido en bien entrado el siglo 20, al menos, a día de hoy es probablemente justo decir que ha sido sustituido por el de slash, y que colon en la mayoría de la mente de las personas está fuertemente asociada a proporciones geométricas.

Answer 3

Una definición razonable sería

$$a_0 : \cdots : a_{n-1} = \frac{1}{a_0+\cdots+a_{n-1}}(a_0,\ldots,a_{n-1})$$

Por ejemplo, en virtud de esta definición, tenemos:

$$1:7 = (1/8,7/8)$$

Ejercicio. Mostrar que $(a:b) = (a':b')$ fib $a/a' = b/b'.$

Por cierto, esto puede ser usado para tomar afín combinaciones. Dado un $k$-tupla de números reales $a$ $k$- tupla de vectores $x$, definir:

$$a \bullet x = \sum_{j<k} a_j x_j$$

Por ejemplo, $(1,7) \bullet (x,y)$ es la combinación lineal $x+7y$, e $(1:7) \bullet (x,y)$ es la combinación afín $\frac{1}{8}x + \frac{7}{8}y$.

Edit. Me acabo de dar cuenta de estas operaciones se muestran de forma natural en la teoría de la probabilidad. Supongamos que Amy, Betty y Carl están jugando a un juego que consiste en independiente minijuegos, jugó de forma secuencial. El primer jugador en ganar un minijuego gana toda la cosa. Deje $p_A,p_B$ $p_C$ denotar las respectivas probabilidades de ganar un minijuego. Estos no tienen que añadir a $1$; la regla es que si nadie gana el minijuego, entonces el proceso se repite, hasta que víctor ha surgido. Deje $P_A,P_B$ $P_C$ denotar las respectivas probabilidades de ganar todo el juego. Entonces:

$$(P_A,P_B,P_C) = (p_A : p_B : p_C)$$

Answer 4

Aritméticamente, 1:7 , definitivamente, significa 1/7

Puede ser, el moderador se la compara con la equiparación de la odds de 1:7 con una probabilidad de 1/7 (como, por desgracia, muchas personas hacen, teniendo los dos términos son sinónimos), que 0f curso es incorrecta y que la probabilidad es de 1/8

Answer 5

Si una cantidad de dinero es compartida entre a y B en la relación $3:5$ a se ${3\over 8}$ del total, pero ${3\over5}$ tanto como B.

En mi opinión, una expresión de la forma $a:b$ es NAN (no un número), pero una forma de hablar para ser analizados en tiempo real. Matemáticamente, los par $(a,b)$ puede ser considerado como homogéneo de las coordenadas de un punto de $p\in{\Bbb P}^1({\Bbb R})$.