Encuentra max de$f(x)=12x^2\int_0^1yf(y)dy+ 20x\int_0^1y^2f(y)dy+4x$

Question

Deje que$$f(x)=12x^2\int_0^1yf(y)dy+ 20x\int_0^1y^2f(y)dy+4x encuentre el valor máximo de$f(x)$

Escribí las dos integrales como$I_1$ y$I_2$ ya que son constantes y diferencié la ecuación y la puse a$0$. Luego intenté escribir una integral en términos de la otra. Pero no pude obtener la respuesta requerida.

Estoy en el 12 y vine en una de mis pruebas.

Answer 1

Permitir que $$a = \int_{0}^{1}yf(y)dy$$ and $$b=\int_{0}^{1}y^2f(y)dy

Entonces obtenemos$$f(x) = 12ax^2+20bx+4x=12ax^2+(20b+4)x.

Ahora dado$$a=\int_{0}^{1}x\left[12ax^2+(20b+4)x\right]dx=3a+\frac{20b+4}{3} \tag{1}

y dado$$b=\int_{0}^{1}x^2\left[12ax^2+(20b+4)x\right]dx=\frac{12a}{5}+\frac{20b+4}{4}\tag{2}

Ahora resuelva para$a$ y$b$

Answer 2

$\int_{0}^{1} x f(x) dx = \left(\int_{0}^{1} 12x^{3} dx \right) \left( \int_{0}^{1} y f(y) dy \right)+ \left( \int_{0}^{1} 20x^{2} dx \right) \left( \int_{0}^{1} y^{2} f(y) dy \right)+\int_{0}^{1} 4x^{2} dx$

$\int_{0}^{1} x^{2} f(x) dx = \left( \int_{0}^{1} 12x^{4} dx \right) \left( \int_{0}^{1} y f(y) dy \right)+ \left( \int_{0}^{1} 20x^{3} dx \right) \left( \int_{0}^{1} y^{2} f(y) dy \right)+ \int_{0}^{1} 4x^{3} dx$

Por lo tanto, $$I_{1} = 3I_{1}+\frac{20}{3} I_{2}+\frac{4}{3}$$ $$I_{2} = \frac{12}{5}I_{1}+5I_{2}+1$$

En la resolución,la $$I_{1}=-\frac{1}{6}$$ $$I_{2}=-\frac{3}{20}$$

Por lo tanto, $$f(x)=-2x^{2}+x=\frac{1}{8}-2(x-\frac{1}{4})^{2}$$