La ruina de dos jugadores

Question

Estoy tratando de encontrar la solución a una variante de la ruina del jugador. Esta es mi versión:

Hay dos jugadores A y B, muy desafortunados pero amigos, que deciden juntar su dinero para formar un presupuesto común con una cantidad inicial cantidad inicial $b$ un número entero positivo. Tiran un dado ponderado para decidir quién jugará la siguiente partida. Por lo tanto, el jugador A jugará una ronda con probabilidad $p_A$ . Asimismo, el jugador B juega con probabilidad $p_B=1-p_A$ . Ahora bien, A y B son malos en el juego y o bien se equilibran o bien pierden dinero cada vez que juegan, por ejemplo \$1. So their pool of money can only decrease. However, they are not equally unlucky. Gambler A breaks even (does not lose or make money) $ q_A $ of the time and loses otherwise. And gambler B breaks even $ q_B$ del tiempo y pierde en caso contrario.

Cuando hayan agotado totalmente sus fondos, quiero saber cuánto dinero dinero es responsable individualmente de la pérdida de cada jugador.

Por ejemplo, digamos que empezaron con \$1000 and gambler A plays 1/3 of the time, and breaks even 1/3 of the times he plays. Gambler B plays (therefore) 2/3 of the time and breaks even 1/2 of the time she plays. (By simulation) gambler A is likely responsible for about \$ 400 y el jugador B es responsable de los 600 dólares restantes.

Agradecería cualquier pista.

Answer 1

Digamos que cada ronda un jugador pierde \$1 or breaks even. The amount player $ A $ loses each round is a Bernoulli trial with $ p=p_A(1-q_A) $. So the amount he loses in $ N $ rounds is a sum of $ N $ Bernoulli trials, or in other words a Binomial with parameters $ N $ and $ p_A(1-q_A)$.

La pérdida esperada para el jugador $A$ después de $N$ rondas es por lo tanto $Np_A(1-q_A)$ . Y la pérdida esperada para el jugador $B$ es $Np_B(1-q_B)$ . La proporción de la pérdida total atribuible al jugador $A$ en cualquier paso es por tanto $$\frac{Np_A(1-q_A)}{Np_A(1-q_A)+Np_B(1-q_B)}$$ $$=\frac{p_1(1-q_A)}{p_A(1-q_A)+p_B(1-q_B)}$$ Esto da exactamente el 40% para su ejemplo, por lo que concuerda con su simulación.