Cómo encontrar esta integral $\int\frac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx$

Question

Pregunta:

Encontrar la integral $$I=\int\dfrac{1}{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}dx$$

mi solución: deje $\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=t\tag{1}$ entonces $$t(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})=1$$ $$\Longrightarrow \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{t}\tag{2}$$ $(1)-(2)$ hemos $$2\sqrt{x}=t-\dfrac{1}{t}\Longrightarrow x=\dfrac{1}{4}(t-\dfrac{1}{t})^2$$ así $$dx=\dfrac{1}{2}(t-\dfrac{1}{t})(1+\dfrac{1}{t^2})dt=\dfrac{t^4-1}{2t^3}dt$$

$$I=\int\dfrac{1}{1+t}\cdot\dfrac{t^4-1}{2t^3}dt=\dfrac{1}{2}\int\left(1+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{t^2}+\dfrac{1}{t^3}\right)dt=\dfrac{1}{2}\left(t+\ln{t}-\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{2t^2}+C\right)$$ así $$I=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}+\ln{(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}-\dfrac{1}{2(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})^2}+C\right)$$

Mi pregunta: tienes otros métodos? Muchas gracias

Answer 1

Cómo acerca de: sustituto $x=u^2.$ Luego de la caída de los valores absolutos por ahora), se obtiene

$$\int \frac{2 u}{1+u+ \sqrt{u^2+1}} du$$

Ahora, suplente $u=\tan \theta,$ para obtener

$$2 \int \frac{\tan \theta \s^2 \theta}{1+\tan \theta + \sec \theta} d\theta = \int \frac{\sin \theta}{\cos^2\theta (\sin \theta + \cos \theta + 1)} d\theta.$$

Ahora, hacer la sustitución $t = \tan \frac{\theta}2,$ y tiene una función racional.

Answer 2

desde \begin{align*}I&=\int\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x}+1)^2-(\sqrt{x+1})^2}dx=\int\dfrac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}dx=\dfrac{1}{2}\int\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}\right)dx\\ &=\dfrac{1}{2}\left(x+2\sqrt{x}-\int\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}dx\right) \end{align*} desde $$\int\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}dx=x\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+\dfrac{1}{2}\ln{\left(2\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}+1\right)x+1\right)}+C$$

Answer 3

El uso de $\sqrt{x}=u=\tan(\theta)$$v=\sin(\theta)$, $$ \begin{align} &\int\frac1{1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\,\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{1+\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\int\frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\int\sqrt{u^2+1}\,\mathrm{d}u\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-u\sqrt{u^2+1}+\int\frac{u^2}{\sqrt{u^2+1}}\,\mathrm{d}u\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}+\int\tan^2(\theta)\sec(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}+\int\frac{\sin^2(\theta)}{\cos^4(\theta)}\,\mathrm{d}\sin(\theta)\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}+\int\frac{v^2}{1-2v^2+v^4}\,\mathrm{d}v\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}+\frac14\int\left(\frac1{(1-v)^2}+\frac1{(1+v)^2}-\frac1{1-v}-\frac1{1+v}\right)\,\mathrm{d}v\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}-\frac14\log\left(\frac{1+v}{1-v}\right)+\frac14\frac1{1-v}-\frac14\frac1{1+v}+C\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\sqrt{x^2+x}-\frac12\log\left(\frac{1+\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)+\frac12\frac{\sin(\theta)}{\cos^2(\theta)}+C\\ &=\sqrt{x}+\frac x2-\frac12\sqrt{x^2+x}-\frac12\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})+C \end{align} $$ desde $\tan(\theta)=\sqrt{x}$ $\sec(\theta)=\sqrt{x+1}$

Answer 4

O, después de la primera sustitución en mi otra respuesta, sustituto $u=\sinh \theta.$, Entonces la integral se convierte en:

$$2\int \frac{\sinh \theta \cosh \theta}{1+\sinh \theta +\cosh \theta} d \theta = \int \frac{\sinh 2 \theta}{1 + e^\theta} d \theta.$$

La última integrando es una función racional de $e^\theta,$, por lo que la integral obviamente reduce a la integral de una función racional.