Si un grupo finito $G$ es solucionable, es $[G,G]$ nilpotent?

Question

Si $G$ está conectado a un solucionable Mentira-grupo, entonces la $[G,G]$ es nilpotent. La instrucción correspondiente para álgebras de Lie sigue a partir de la Mentira del teorema, y entonces se sigue de la conexión de la Mentira de los grupos por la exponenciación.

Es la declaración también cierto para los grupos finitos? No puedo encontrar un contraejemplo, pero yo no intentar tan duro.

Motivación: me estoy preparando para enseñar una teoría de grupos y teoría de Galois curso, así que yo soy la lluvia de ideas preguntas interesantes acerca de grupos finitos. Siempre que he venido para arriba con una que no puede contestar, tengo la intención de lanzarlo aquí o en el MO.

Answer 1

Como se mencionó en otra respuesta, esto es, por desgracia no es cierto (otro ejemplo es $GL_2(3)$ cuya derivada de subgrupo es $SL_2(3)$). Una cosa interesante a tener en cuenta es que si era cierto, entonces esto sería una fácil prueba de la conjetura de que la Taketa desigualdad se cumple para todos los grupos resolubles.

Elaboración: La Taketa la desigualdad es $\rm{dl}(G)\leq |\rm{cd}(G)|$ donde $\rm{dl}(G)$ es la derivada de la longitud de $G$ $\rm{cd}(G) = \{\chi(1) | \chi\in \rm{Irr}(G)\}$ es el conjunto de grados de irreductible de caracteres complejos de $G$.

Como se ha mencionado, esta desigualdad se conjetura mantenga para todos los grupos resolubles, y la forma en que se haría si la derivada subgrupo fue nilpotent es debido a un teorema de Isaacs y Knutson, que establece:

Si $N$ es normal nilpotent subgrupo de $G$, entonces la derivada de la longitud de $N$ es mayor el número de grados de irreductible de caracteres complejos de $G$ que no tienen $N$ en su núcleo.

Usando el teorema anterior con $N = G'$ uno inmediatamente se pone la conjetura.

Answer 2

Un grupo que se llama supersolvable si tiene un número finito ascendente de la serie de subgrupos normales de tal manera que cada grupo cociente es cíclico. Así que todos los finitely generado nilpotent grupos supersolvable, sino $S_3$ es supersolvable pero no nilpotent; y todos los supersolvable grupos tienen solución, sino $A_4$ $S_4$ tienen solución, pero no supersolvable.

Es cierto que $G$ supersolvable implica que $G'$ es nilpotent. La prueba (en breve) es que, desde cíclico grupos han abelian automorphism grupos, $G'$ centraliza todos los coeficientes en la serie normal para $G$ con cíclico cocientes, y, por tanto, la intersección de a $G'$ con esta serie es una serie central para $G'$.

Answer 3

Sólo quiero lanzar en que no es en realidad un término para grupos con nilpotent derivados de los subgrupos, se les llama nilpotent por abelian. Un equivalente condición es que $G'\leqslant \text{Fit}(G)$, lo que no siempre es cierto en un solucionable grupo.

En particular, todos los grupos resolubles con $\ell_F(G)>2$ son contraejemplos, que es otra manera fácil de ver que la propiedad no se cumple para $S_4$ ($2$- Frobenius grupo, y por lo tanto ha de Ajuste de la longitud de $3$).

Answer 4

El grupo simétrico $S_4$ es solucionable, pero $[S_4, S_4] = A_4$ no es nilpotent.