Producto de los dígitos

Question

Encontrar todos los números naturales $x$ ($x$ en base a $10$) de modo que el producto de sus dígitos es $x^2 - 10x - 22$.

Aquí es lo que he hecho hasta ahora:

Me tomó dos casos.

El primer caso fue el de considerar uno o más dígitos(excepto la primera) ser $0$. En este caso, $x$ no era un número natural.

El segundo caso fue el de considerar ningún dígito $0$. Debido a $x$ es un número natural debemos tener el producto de sus dígitos más grande que $0$. Después de la resolución de $x^2 - 10x - 22 > 0$ I got $x$ ser un número natural mayor que $11$.

En este punto tengo pegado. Sé que la respuesta es $12$ pero no sé cómo conseguirlo.

Answer 1

$\lg(x)$ aquí denota $\log_{10}(x)$.

$x^2-10x-12\neq 0$, ya que el $x$ es un número entero.

$x^2-10x-22 > 0\iff x\ge 12$.

Como sugiere Daniel Fischer en los comentarios:

$$x^2-10x-22\le 9^{d}=9^{\lfloor \lg x \rfloor+1}$$

$$\iff \lg(x^2-10x-22)\le \lg(9)\left(\lfloor\lg x\rfloor +1\right)< \lfloor \lg x\rfloor+1\le \lg x+1=\lg (10x)$$

$$\implies x^2-10x-22< 10x\iff x\in (10-\sqrt{122},10+\sqrt{122})$$

$\iff x\in [12,21]$. A continuación,$0\le x^2-10x-22\le 1\cdot 9\implies x=12$. Después de comprobar, $12$ obras.

Answer 2

Todos los dígitos $a$ es igual al producto de sus dígitos, a continuación, ninguno de dígitos es la solución, porque de $a^2-10a-22$. Por otro lado, este trinomio es igual a$(x - 5)^2 – 47$, lo que muestra su solución de $x = 12$ (y descarta los números 10 y 11).

Para números de dos dígitos, otros que el 12 de encima tenemos a $(x - 5)^2$ – 47 = ab$ \implies$ $(x - 5)^2 – 47\leq81$ $\implies(x-5)^2 = 9, 16, 25$ es decir,$x = 14, 21, 30$. Pero $9^2 – 47\neq{1\cdot4}$, ${16}^2 – 47\neq{2\cdot1}$ y ${25}^2 – 47\neq{3\cdot0}$. Por lo tanto, la única solución de dos dígitos es el 12.

Para números de tres dígitos tendríamos $(x - 5)^2 – 47\leq729=9^3$ pero $(x - 5)^2\geq(95)^2$ que no es posible.

La única solución es $x = 12$