Definir la relación $\sim$ $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ $(a,b)\sim(c,d)$ si $a-c=b-d$. Mostrar que $\sim$ es una relación de equivalencia. ¿Cuál es la clase de equivalencia de a $(1,2)$?
No estoy seguro de cómo abordar esto ya que nunca he tenido que lidiar con 4-tuplas antes.
Tal vez sería de gran ayuda para reescribir $a-c=b-d$$a-b=c-d$. Tenga en cuenta que si $a=1$$b=2$,$a-b=-1$. Por lo que el $(c,d)$ que son equivalentes a $(1,2)$ todos los $(c,d)$ tal que $c-d=-1$.
Vamos a pensar en algunos: $(10,11)$; $(47,48)$: y así sucesivamente. También se $(-17,-16)$, y así sucesivamente.
Comentario: realmente no es $4$-tuplas que se trata aquí. Es de pares ordenados (como de costumbre), pero esta vez es de pares ordenados de pares ordenados.
No es diferente de lo que has hecho antes; la notación es un poco más complicado. Por ejemplo, para mostrar que $\sim$ es simétrica, usted tiene que demostrar que si $\langle a,b\rangle,\langle c,d\rangle\in\Bbb Z\times\Bbb Z$, e $\langle a,b\rangle\sim\langle c,d\rangle$,$\langle c,d\rangle\sim\langle a,b\rangle$. Volver a la definición de $\sim$ para ver lo que esto significa realmente.
$\langle a,b\rangle\sim\langle c,d\rangle$ significa que $a-c=b-d$; este es tu hipótesis.
$\langle c,d\rangle\sim\langle a,b\rangle$ significa que $c-a=d-b$; esto es lo que usted necesita demostrar a fin de demostrar que $\sim$ es simétrica. Y esto es fácil de hacer: $c-a=-(a-c)\overset{*}=-(b-d)=d-b$, donde la protagonizó paso se utiliza la hipótesis de que la $\langle a,b\rangle\sim\langle c,d\rangle$.
Ahora vea si usted puede probar la reflexividad y transitividad en su propio.
La clase de equivalencia de a $\langle 1,2\rangle$ es el conjunto de todos los $\langle a,b\rangle$ tal que $\langle 1,2\rangle\sim\langle a,b\rangle$, es decir, tal que $1-a=2-b$; resolver este para encontrar lo $b$ debe ser en términos de $a$ a fin de $\langle a,b\rangle$ a estar en la clase de equivalencia.
Sugerencia $\rm\ \ (a,b)\sim (c,d)\smash[t]{\overset{\ def}{\iff}} a\!-\!b = c\!-\!d \iff f(a,b) = f(c,d)\ $ $\rm\ f(x,y) = x\!-\!y$
De manera más general, supongamos $\rm\: u\sim v\ \smash[t]{\overset{\ def}{\iff}}\, f(u) \approx f(v)\:$ para una función $\rm\,f\,$ y la equivalencia de la relación de $\,\approx.\ $, a Continuación, la relación de equivalencia de las propiedades de $\,\approx\,$ transporte $\,\sim\,$ usando la definición:
reflexiva $\rm\quad\ f(v) \approx f(v)\:\Rightarrow\:v\sim v$
simétrica $\rm\,\ u\sim v\:\Rightarrow\ f(u) \approx f(v)\:\Rightarrow\:f(v)\approx f(u)\:\Rightarrow\:v\sim u$
transitiva $\rm\ \ \ u\sim v,\, v\sim w\:\Rightarrow\: f(u)\approx f(v),\,f(v)\approx f(w)\:\Rightarrow\:f(u)\approx f(w)\:\Rightarrow u\sim w$
Tales relaciones son llamados (equivalencia) núcleos. Uno llama a $\, \sim\,$ $\,(\approx)\,$ núcleo de $\rm\,f.$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
