La esfera de $S^d$ es el espacio Euclidiano $E^d$ con infinito identificado como un único punto

Question

Estoy leyendo acerca de anti de Sitter el espacio-tiempo, y me encontré con la siguiente declaración:

$$ds^2 = \frac{1}{\cos^2 \psi} \big( -dt^2 + d\psi^2+ \sin^2 \psi d\Omega_{d-2}^2 \big).$$

Por lo tanto, la distribución espacial de las secciones de $AdS^d$ (constante $\psi$) están delimitadas por $S^{d-2}$ ($\psi \rightarrow \pi/2$), lo que puede ser pensado como el espacio Euclidiano $E^{d-2}$ espacial infinito identificado como un único punto. Añadiendo a la hora de coordinar, llegamos a la conclusión de que el anti de Sitter spacetime $AdS^d$ está delimitado por $M^{d-2,1}$.

[Zee, de Einstein de la gravedad en pocas palabras, ch. IX.11, página 655]. Yo no veo esto. Entiendo que $S^{d-2}$ puede ser considerado como $E^{d-2}$ con infinito identificado en un punto (como en la proyección estereográfica), pero esto es topológicamente, no métrico. Quiero decir, esto no quiere decir que tengan la misma métrica. En realidad, para la constante de $\psi$ obtener la métrica

$$ds^2 = C_1 \big( -dt^2 + C_2 \, d\Omega_{d-2}^2 \big)$$

donde $C_1 = \frac{1}{\cos^2 \psi}$ e $C_2 =\sin^2 \psi$ son constantes. Esto no es una métrica plana, sino más bien un $(d-2)$-esfera con el tiempo. Por lo que no puede representar el espacio-tiempo de Minkowski $M^{d-2,1}$. ¿Por qué le dicen así?

Answer 1

Tal vez el autor estaba siendo laxa sobre la distinción entre los planos y conformemente plana, es decir, acerca de la distinción entre el espacio-tiempo de Minkowski y su conformación compactification. Esto es plausible, puesto que los Anuncios no tiene un "límite" en el sentido estricto. El "límite" de los Anuncios de espacio-tiempo es realmente una característica de la conformación compactification de Anuncios. De acuerdo a la página 2 en [1]:

el límite de la conformación compactified Anuncios de$_{d+1}$ es idéntica a la conformación compactification de la $d$-D espacio de Minkowski, es decir, $\mathbb{R}\times S^{d-1}$. ... La $d$-D espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{1,d-1}$ es conformemente compactified a $\mathbb{R}\times S^{d-1}$.

Teniendo en cuenta el límite de la métrica hasta conformación de equivalencia es natural en este contexto, como se ha enfatizado en la página 3 en [2]:

la métrica en el límite [de Anuncios] sólo se especifica hasta el reescalado, es decir, un Weyl transformación.

Un relativamente intuitivo se da cuenta en la página 4 en [3]:

Desde null geodesics no se preocupan por el Weyl factor de la métrica, es decir, la multiplicación por escalares función, vemos que la estructura causal de los Anuncios de$_{d+1}$ será el mismo que el de un "cilindro sólido", métrico $$ds^2=-dt^2+d\rho^2+\sin^2\rho\,d\Omega_{d-1}^2.$$ ... Tal vez la característica más importante de espacio de los Anuncios es su asintótica el límite a $r = \infty$ (o $\rho = \pi$), que ha topología $\mathbb{R}\times S^{d-1}$. ... las señales pueden ser enviadas a este límite y "respuestas" recibido en un número finito en el tiempo apropiado, de acuerdo a una enorme observador sentado en reposo en el centro del espacio. Esto sugiere que a pesar de la infinita volumen espacial de los Anuncios, que puede ser que desee pensar en ello como siendo algo así como un número finito de caja.

Teniendo en cuenta todo esto, parece plausible que el autor citado en el OP se describe el "límite" de los Anuncios en términos de planos espacio-tiempo de Minkowski, porque el límite es una característica de la conformación compactification de Anuncios, por lo que sólo la conformación de la estructura de la materia.

---

Referencias:

[1] "Una Muy Introductorio AdS/CFT, "http://theory.uchicago.edu/~ejm/curso/JournalClub/Basic_AdS-CFT_JournalClub.pdf

[2] https://ocw.mit.edu/courses/physics/8-821-string-theory-fall-2008/lecture-notes/lecture12.pdf

[3] "TASI Conferencias sobre la Aparición de la Masiva en AdS/CFT, "https://arxiv.org/abs/1802.01040