Simple diferenciación a partir de primeros principios problema

Question

Sé que esto es muy básico, pero, ¿cómo puedo diferenciar esta ecuación a partir de primeros principios para encontrar $\frac{dy}{dx}$:

$$ y = \frac{1}{x} $$

He intentado esto:

$$\begin{align} f'(x) = \frac{dy}{dx} & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{(x+\delta x)^{-1} - x^{-1}}{\delta x} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{1}{\delta x(x + \delta x )} - \frac{1}{x(\delta x)} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{1}{x(\delta x)} + \frac{1}{(\delta x)^2} - \frac{1}{x(\delta x)} \right] \\ & = 1 \end{align}$$

lo cual es evidentemente falso, ya que $f'(x) = - \frac{1}{x^2}$. A donde voy mal?

Answer 1

$$\begin{align} f'(x) = \frac{dy}{dx} & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{f(x + \delta x) - f(x)}{\delta x} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{(x+\delta x)^{-1} - x^{-1}}{\delta x} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[\color{blue}{ \frac{1}{\delta x(x + \delta x )}} - \frac{1}{x(\delta x)} \right] \\ & = \lim_{\delta x\to 0} \left[ \color{blue}{\frac{1}{x(\delta x)} + \frac{1}{(\delta x)^2}} - \frac{1}{x(\delta x)} \right] \\ & = 1 \end{align}$$

Resaltado en azul es el error de la medida que usted tomó. Es decir, que cayó presa de la falacia de que rara vez es cierto: $$\frac 1{a+b} = \frac 1a + \frac 1b\tag{fallacy}$$

La falacia de los tallos, creo, por el hecho de que podemos dividir una suma cuando está en el numerador, como así,$$\frac {a+b}{c} = \frac ac + \frac bc$$, pero no podemos hacerlo cuando la suma está en el denominador.

Lo que puede hacer es encontrar el denominador común de los dos términos (fracciones) en la tercera línea de arriba, y luego todos deben avanzar suavemente.

Answer 2

$$\lim_{\delta x\to 0} \left[ \frac{1}{\delta x(x + \delta x )} - \frac{1}{x(\delta x)} \right]=\lim_{\delta x\to 0} \left[\frac{-\delta x-x}{x\delta x (\delta x+x)}+\frac{x}{x\delta x (\delta x+x)} \right ]=\lim_{\delta x\to 0} \left[-\frac{\delta x}{x\delta x(x+\delta x)} \right]=\lim_{\delta x\to 0} \left[\frac{-1}{x(x+\delta x)}\right ]=\lim_{\delta x\to 0} \left[\frac{-1}{x\delta x+x^2}\right ]=-\frac{1}{x^2}$$

Esto es tan detallada como se puede ir, creo.

Recuerde que $$\frac{1}{a+b} \neq \frac1a +\frac1b, \forall a,b$$

Answer 3

Hizo algún extraño cálculo para llegar a la cuarta línea. Yo prefiero usar $h$ en lugar de $\delta x$. Entonces $$\frac{1}{h}\left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{h} \frac{x-x-h}{x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)} $$ el que hace lo que usted está esperando.

Answer 4

$$\begin{align} f(x+h)-f(x) &= \dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x} \\ &= \dfrac{x-h-x}{x(x+h)} \\ &= \dfrac{-h}{x(x+h)} \end{align}$$

Answer 5

$$f^{´}(x) = \lim_{h\to 0} \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =$$

$$\lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} = \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\frac{x-x-h}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h} = \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{-h}{hx(x+h)}$$

$$ \lim_{h\to 0}\displaystyle \frac{-1}{x^{2}+xh}= \frac{-1}{x^{2}} $$