Primero, tomemos el polinomio de Taylor $\displaystyle T_n(x) = \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ en un punto determinado $a$ . Ahora podemos decir: $\displaystyle R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ , donde $R_n$ puede llamarse función de remanente .
Si podemos demostrar que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}R_n(x) = 0$ entonces $f(x) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_n(x)$ Es decir, la serie de Taylors es exactamente igual a la función. Ahora podemos utilizar el teorema de Taylor:
$\mathbf{Theorem\,\, 1}$ Si una función es $n+1$ veces diferenciable en un intervalo $I$ que contiene el punto $x=a$ , entonces para $x \in I$ existe $z$ que está estrictamente entre $a$ y $x$ tal que..:
$\displaystyle R_n = \frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)}$ . (Esto se conoce como el Resto de Lagrange .) $\hspace{1cm}\blacksquare$
Bien, ahora para cada serie de Taylor que queramos, debemos probar que $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}R_n(x) = 0$ para que la serie sea exactamente igual a la función.
Ejemplo: Demostrar que para $f(x) = \sin(x)$ La serie de Maclaurin (la serie de Taylor con $a=0$ ) es exactamente igual a la función para todo $x$ .
En primer lugar, sabemos que $\displaystyle\left|\, f^{(n+1)}(z)\right| \leq 1$ porque $\left|\sin(x)\right|\leq 1$ y $|\cos(x)|\leq 1$ . Así que tenemos:
$\displaystyle 0\leq \left|R_n\right| = \frac{\left|f^{(n+1)}(z)\right|}{(n+1)!}\left|x\right|^{n+1} \leq \frac{\left|x\right|^{n+1}}{(n+1)!}$
Es fácil demostrar que $\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\left|x\right|^n}{n!} = 0$ para todos $x\in \mathbb{R}$ (por ejemplo con Criterio de relación D'Alambert para la convergencia de la serie) Por lo tanto, según la teorema de la compresión (En mi país lo llamamos el teorema de los dos policías y el ladrón :D), se deduce que $\left|R_n\right| \rightarrow 0$ cuando $n\rightarrow\infty$ . Esto, a su vez, equivale a:
$\displaystyle R_n\rightarrow 0$ como $n\rightarrow\infty$ (porque $\left|R_n - 0\right| = \left|\left|R_n\right| - 0\right|$ ).
Por lo tanto, de acuerdo con el Teorema 1, se sostiene que $f(x) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_n$ para todos $x$ en el radio de convergencia.
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Ahora, vamos a encontrar el radio de convergencia:
$\mathbf{Theorem\,\, 2}$ Para una serie Maclaurin de una función:
$f(x) = \displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}c_k x^k = c_0 + c_1x + c_2x^2 + \dots$
La igualdad es válida para $x$ en el radio de convergencia:
$\displaystyle\frac{1}{R} = \limsup\limits_{k \rightarrow \infty} \left|c_k\right|^{\large{\frac{1}{k}}}$ ( Cauchy-Hadamard fórmula)
donde $R$ es el radio de convergencia de la función dada, o más concretamente, la serie de potencias converge a la función para todo $x$ que satisface: $\displaystyle\left|\,x\, \right| < R$ , donde $R\in [0,+\infty]$ . $\hspace{1cm}\blacksquare$
Veamos nuestro ejemplo para $\sin(x)$ . Tenemos:
$\displaystyle\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots = \sum\limits_{k=0}^{+\infty}c_k x^{2k+1}$
donde $\displaystyle c_k = \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}$ .
Sustituyendo por $R$ nos encontramos con que:
$\displaystyle \frac{1}{R} = \limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[k]{(2k+1)!}}=0,$ (esto se puede demostrar con La aproximación de Stirling ) y
$\displaystyle\implies \boxed{R = +\infty}$
Por lo tanto, nuestra serie converge para todo $\displaystyle|x| < +\infty \, \Longleftrightarrow\, \boxed{ -\infty < x < +\infty}$ , lo que esperábamos.
Por último, tenemos que $f(x) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}T_n$ para todos $x\in\mathbb{R}$ que es lo que queríamos probar. $\blacksquare$
