La prueba de que el aumento de género superficie admite una métrica de negativo escalar de Ricci en todas partes

Question

En el Verde, Schwarz y Witten la Teoría de las Supercuerdas libro de texto, el párrafo siguiente ecuación 3.3.15 dice,

Por género, mayor que uno, se puede demostrar que la superficie admite una métrica de todas partes negativas escalar de curvatura.

Esta declaración es esencial en la prueba de que $C_g$ $g>1$ es siempre cero, pero no puedo probarlo. Podría usted señalar cómo probar esto?

Answer 1

Este resultado se sigue de que i) Uniformización teorema y ii) de Gauss-Bonnet teorema en 2d.

De acuerdo a la declaración del teorema de uniformización de esta página de la wiki :

cada conectado superficie de Riemann X admite una única completa 2-dimensional real métrica de Riemann con curvatura constante -1, 0 o 1 la inducción de la misma conformación de la estructura de

Por otro lado, de acuerdo a Gauss-Bonnet teorema de laintegral de el escalar de curvatura en una superficie 2d es un múltiple positivo de la característica de Euler ($\chi=2-2g$). Dado que la característica de Euler es negativo para$g>1$, por lo que a partir de la uniformización teorema se sigue que -

cualquier superficie de Riemann con género $g>1$ admite una única completa 2-dimensional real métrica de Riemann con curvatura constante -1 inducción de la misma conformación de la estructura de

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Nota : yo no soy consciente de que cualquier buena referencia donde uniformización thereom se demuestra en la forma indicada anteriormente. Sin embargo, espero que usted puede encontrar una prueba en algunas de las referencias citadas en el correspondiente artículo de wiki.

Answer 2

Por qué no utilizar la construcción explícita de dicha superficie?

Desde El Colector De Atlas:

Cualquier métrica hiperbólica en un circuito cerrado, superficie orientable $S_g$ de género $g\ge 2$ se obtiene mediante la siguiente construcción: elegir una geodésica $4g$-gon en el plano hiperbólico ${\Bbb H}^2$ área $4(g-1)\pi$. (Esto implica que la suma de los ángulos interiores es $2\pi$.) A continuación, elija la orientación de la preservación de isometrías $I_1,J_1,\ldots,I_g,J_g$ que dan cuenta de la encolado patrón de $S_g$: $j=1,\ldots,g$ requerimos que $I_j$ mapas de $a_j$ a $\overline{a}_j$, $J_j$ mapas de $b_j$$\overline{b}_j$. Deje $\Gamma\subset Isom^+\left({\Bbb H}^2\right)$ ser el subgrupo generado por a $I_1,J_1,\ldots,I_g,J_g$. A continuación, $\Gamma$ es un subgrupo discreto de $Isom^+\left({\Bbb H}^2\right)$ $\Gamma\backslash{\Bbb H}^2$ es una superficie hiperbólica diffeomorphic a ${\Bbb H}^2$.

Aquí está una ilustración de género 2 superficie de pegado de un octágono en el plano hiperbólico (imagen tomada de aquí):