¿Es posible expresar $x^4-x^3+3x^2-4x+6$ como producto de polinomios de grado menor con coeficientes enteros?

Question

¿Es posible expresar $x^4-x^3+3x^2-4x+6$ como producto de polinomios de grado menor con coeficientes enteros?

Mi intento: Igualando el polinomio a $0$ se obtiene $x=1\pm i, \pm\frac{1}{2}i(\sqrt{11}\mp i)$ . A partir de esto, se puede escribir el polinomio dado en la pregunta como el

$$(x^2-2x+2)(x^2+x+3)$$ utilizando la fórmula de Viete.

Sin embargo, no estoy seguro de si puedo resolver el polinomio antes y utilizar las respuestas para expresarlo como producto de polinomios de menor grado.

Answer 1

Tu polinomio no tiene raíz entera, ya que dicha raíz debe ser un divisor de $6$ . Además no puede tener raíz negativa ya que, si $x>0$ , $p(x)> 0$ . Por lo tanto, hay que comprobar los valores $\,1,2 ,3,6$ y ninguno es una raíz.

Por lo tanto, una factorización debe tener la forma: $$x^4-x^3+3x^2-4x+6=(x^2+ax+b)(x^2+a'x+b')$$ que conduce al sistema: $$\begin{cases} a+a'=-1\\aa'+b+b'=3\\ab'+ba'=-4\\bb'=6 \end{cases}$$ Además, $b$ y $b'$ tienen que ser positivos: si fueran negativos, los factores, por tanto $p(x)$ tendría una raíz negativa.

Quedan dos posibilidades: $b=2,\enspace b'=3\,$ o $\, b=1,\enspace b'=6$ . De la segunda ecuación se deduce que $aa'=-2$ o $aa'=-4$ .

Ahora tenemos que resolver el problema clásico de encontrar dos números, conociendo su suma, $-1$ y su producto, $-2$ o $-4$ . Son raíces de una de estas ecuaciones: $$t^2+t-2=0,\quad t^2+t-4=0.$$ Ocurre que la primera tiene raíces enteras, $1$ y $-2$ mientras que el segundo no.

Esta tercera ecuación nos permitirá saber qué raíz es $a$ y que es $a'$ . Se puede escribir como $\,3a+2a'=-4$ que impone $a=-2,\ a'=1$ . Finalmente obtenemos la factorización: $$x^4-x^3+3x^2-4x+6=(x^2-2x+2)(x^2+ x+3). $$