Conformación de mapas en abrir mitad derecha del plano

Question

En la Gran Rudin no es el mapa de conformación

$$\varphi(z) = \frac {1+z}{1-z}$$

que envía a $\{-1, 0, 1\}$$\{0, 1, \infty\}$.

El libro dice:

El segmento de $(-1, 1)$ mapas en el eje real positivo. La unidad círculo de $T$ pasa a través de $-1$$1$, por lo tanto $\varphi(T)$ es un línea recta que pasa a través de $\varphi(-1) = 0$. Desde $T$ hace ángulo recto en $-1$ con el eje real, $\varphi(T)$ es el imaginario eje.

Hasta ahora es claro.

Pero luego dice:

Desde $\varphi(0) = 1$, se deduce que el $\varphi$ es una de conformación uno-a-uno, el mapeo de abrir la unidad de disco en el open mitad derecha plano.

He perdido a él. ¿Por qué todo lo que implica ese $\varphi$ mapas en el abrir de la mitad derecha del plano?

Answer 1

Desde $\varphi$ es una transformación de Möbius envía los círculos en círculos. La Orientación de Principio (véase el Capítulo III, 3.21 p.53 en John Conway: Funciones de una variable compleja I. Segunda edición) establece que si $\varphi$ mapas del círculo $C_1$ sobre el círculo de $C_2$, todo en un lado de la $C_2$ se debe enviar exclusivamente a un solo lado de la $C_2$ (a los costados dependen de la orientación dada).

En este caso, tenemos que el círculo unidad $T$ es enviado en el eje imaginario (que es un círculo en la Esfera de Riemann), por lo tanto el eje imaginario es el límite de $\varphi(T)$, que lo es todo en el interior de $T$ se debe enviar sólo a la izquierda o a la derecha del eje imaginario.

Para comprobar de qué lado (que es la comprobación de lo que es la orientación tomada), solo necesitamos comprobar donde $\varphi$ envía a cualquier punto dentro de $T$. A continuación, desde un punto dentro del círculo unidad $T$, en este caso $0$ es enviado a un punto en la mitad derecha del plano de $\varphi(0)=1$, obtenemos que $\varphi(T)$ debe ser la mitad derecha del plano.

Como corolario tenemos que $\varphi(\mathbb{C} \setminus T)$ es la mitad izquierda del plano, y una comprobación de que, por ejemplo, mediante el cálculo de $\varphi(2)=-3$