Encontrar una función que cuando se aplica a la inversa de un argumento, sólo cambia de signo

Question

Así que, básicamente, una función de $f$ con $f(\frac{1}{x}) = - f(x)$. Además, también debe ser estrictamente creciente.

Sé que el logaritmo tiene esta propiedad, pero estoy buscando una función con diferentes condiciones de contorno. Es decir: f(0) = -1 (y $f(x -> \infty) = 1$).

Sé que una solución a esto: $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$, pero me pregunto:

1. Hay un método general para encontrar tales funciones?

2. Es mi solución única?

Answer 1

Para $x>0$, sustituto $x = e^t$ o $t = \log x$. Entonces, tenemos $$ g(t):=f(e^t) = -f(e^{-t})=-g(-t),\quad \forall t\in\mathbb{R}, $$and $g(\infty) = 1$, $g(-\infty)=-1$ (assuming continuity of $f$ at $0$.) Hence $f\big|_{(0,\infty)}$ corresponds to an odd function $g$ satisfying the above boundary condition at $\pm\infty$. Similarly, $f\big|_{(-\infty,0)}$ corresponds to some odd $h$ de la misma manera.

Esto muestra que hay tantas soluciones como hay ciertas funciones de $g,h$ para que $\lim\limits_{x\to\infty} g(x)=\lim\limits_{x\to\infty}h(x)=1$. Un ejemplo diferente de la $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$es $$ f(x) = \frac{2}{\pi}\arctan(\log |x|),\quad x\neq 0 $$ and $f(0)=-1$. Also notice that the OP's solution corresponds to $g(t) = \frac{e^t-1}{e^t+1}=\tanh \frac{t}{2}$.