Encontrar todos los polinomios $P(x)$ tal que $2xP(x)=(x+1)P(x-1)+(x-1)P(x+1)$.

Question

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ tal que $2xP(x)=(x+1)P(x-1)+(x-1)P(x+1)$.

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Bueno, si $\deg P\le 3$ esto es fácil, ya que podemos deducir $P(0)=P(1)=P(-1)$ dejando $x=0,1,-1$

Answer 1

Primero algunas observaciones sencillas:

• establecimiento $x:=0$ $x:=1$ uno encuentra $P[-1]=P[0]=P[1]$ en todos los casos,
• constante polinomios son soluciones,
• la ecuación es lineal en $P$,
• así que podemos añadir las constantes libremente, después de lo cual podemos deducir $P[-1]=P[0]=P[1]=0$,
• y $P=(X-1)X(X+1)$ es una solución fácil explícita de la computación.

Así que las soluciones hasta grado$~3$ $P=\lambda(X-1)X(X+1)+\mu$ donde $\lambda,\mu$ son constantes arbitrarias (supongo que se encuentran estas soluciones).

Ahora en el caso general, vamos a $P =a_dX^d+a_{d-1}X^{d-1}+a_{d-2}X^{d-2}+(\text{lower order terms})$ donde $d=\deg P$ (por lo $a_d\neq0$). Un simple (pero un poco tedioso) cálculo da $$ (X+1)P[X-1]+(X-1)P[X+1]=2a_dX^{d+1}+2a_{d-1}X^d+\left((2\tbinom d2-2d)a_d+2a_{d-2}\right)X^{d-1}+(\text{inferior términos de orden}). $$ Comparando con $2XP$, vemos que el tercer término sólo coincide con al $2\tbinom d2-2d=0$, en otras palabras, cuando $d(d-1)-2d=d^2-3d=0$ o $d\in\{0,3\}$. No hay otras soluciones que las de arriba.

Answer 2

Simplemente tenemos que usar el hecho de que el único polinomio que tiene una infinidad de raíces es el polinomio cero $p(x)=0$. (sin calcular el coeficiente de

Desde $P(0)=P(-1)=P(1)$(como ya lo ha hecho), hay algunas constantes $c$ $d$ tal que $$P(x)=cx(x+1)(x-1)+d$$ holds for $x=-1,0,1$ and $2$. (Set $d=P(0)$ and $c=(P(2)-d)/6$)

Deje $Q(x) = cx(x+1)(x-1)+d$$R(x) = P(x) - Q(x)$. Entonces, evidentemente, $R(x)=0$$x=-1,0,1$$2$. Podría ser fácilmente comprobado que $R(x)$ también satisface la ecuación de $$2xR(x)=(x+1)R(x-1)+(x-1)R(x+1). $$

Si $R(n-1) = R(n) = 0$ para algún entero positivo mayor que $1$, puesto $x=n$ y obtenemos $R(n+1) = 0$. Ya tenemos las condiciones iniciales $R(1)=R(2)=0$, podemos probar inductivamente que para todos los enteros positivos $n$, $R(n) = 0$. Por lo tanto, $R(x)=0$ tiene una infinidad de raíces y, por lo tanto, $R(x)$ es igual a cero.

Por lo tanto $P(x)$ es igual a $Q(x) = cx(x+1)(x-1)+d$ y estas son las únicas soluciones.

Answer 3

(Marc van Leeuwen fue de 8 minutos más rápido.)

Suponga $n\geq3$ y escribir $p$ en forma $$p(x)=x^n+a x^{n-1}+b x^{n-2}+ r_{n-3}\ ,$$ donde aquí y en el siguiente $r_k$ denota un indeterminado polinomio de grado $k\geq0$. En particular $$(x\pm 1)^m=x^m\pm m x^{m-1}+{m(m-1)\over2} x^{m-2}+r_{m-3}\ .$$ El cálculo muestra que $$(x+1)p(x-1)+(x-1)p(x+1)-2x p(x)=n(n-3) x^{n-1}+ r_{n-2}\ .$$ De ello se desprende que no existe ningún polinomio de grado $>3$ contar con la propiedad requerida.