Kuhn-Tucker condición no se cumple

Question

Mostrar que la solución a la búsqueda de un mínimo de $f(x)=-x_{1}$ Con las condiciones de

$-\sin(x_{1})+x_{2} \leq 0$
$x_{1}-x_{2} \leq 0$

es el punto de $(0,0)$, pero la de Kuhn-Tucker condición no se cumple en este punto.

La primera parte es fácil (sin teoría de la optimización), pero no sé cómo mostrar la segunda parte.

Answer 1

Deje $g_1(x) = -\sin x_1 + x_2, g_2(x) = x_1-x_2$$\hat{x} = (0,0)^T$.

Ahora vamos a $\hat{g}_\mu = \nabla f(\hat{x})+\sum_i\mu_i \nabla g_i(\hat{x})$. La evaluación de los gradientes de da $\hat{g}_\mu = \binom{-1}{0}+\mu_1 \binom{-1}{1} + \mu_2 \binom{1}{-1}=\binom{-(1+\mu_1-\mu_2)}{\mu_1-\mu_2}$. Es fácil ver que para cualquier $\mu$, $\hat{g}_\mu \in \{\binom{-1}{0}\}+\text{sp} \{ \binom{1}{-1}\}$ que es un hyperplane que no pasa por cero. Por lo tanto $\hat{g}_\mu \neq 0$ todos los $\mu$. De ahí el KT condiciones no puede ser satisfecho a una solución.

Para ver por qué esto es así, recuerde que el KT condiciones necesidad de primer orden la restricción de calificación para sostener de modo que Farka del lexema (o una variante) puede ser aplicada. Las condiciones se reducen a mostrar que para cada factible dirección $h \in \{\eta | \langle \nabla g_i(\hat{x}), \eta \rangle \leq 0 , \ \ i =1,2\}$ en una solución de $\hat{x}$ (tenga en cuenta que ambas restricciones son activas en la solución), existe un (a una cara) función derivable $x_h: [0,\epsilon) \to \mathbb{R}^2$ tal que $x_h(0) = \hat{x}$$x_h'(0) = h$.

En este ejemplo, el conjunto de direcciones factibles es $\text{sp} \{ \binom{1}{1}\}$, y no es $x_h$ que trabaja para $h=\binom{1}{1}$ (desde $\{x|g_i(x) \leq 0, \ i = 1,2 \} \cap \{x | \langle x , \binom{1}{1} \rangle \geq 0 \} = \{0 \}$).

Nota para contestar la pregunta siguiente:

(Una imagen ayuda mucho aquí; dibujar uno.)

El conjunto de direcciones factibles es $\text{sp} \{ \binom{1}{1}\}$, por lo que debemos ver si podemos encontrar una adecuada $x_\binom{1}{1}$$x_{-\binom{1}{1}}$. La función de $x_{-\binom{1}{1}}(t) = -t\binom{1}{1}$ cumple con las condiciones requeridas, sin embargo no hay ninguna función que satisface las condiciones para $h=\binom{1}{1}$.

Para ver esto, vamos a proceder por la contradicción. Supongamos que tal $x_\binom{1}{1}$ existe, y considere la función $\phi(t) = \langle \binom{1}{1} , x_\binom{1}{1} \rangle$. Tenga en cuenta que $\phi'(0) = 2 > 0$, por lo tanto $\phi(t) >0$ pequeña $t$. En particular, esto nos dice que $\phi(t) \in \{x | \langle x , \binom{1}{1} \rangle \geq 0 \}$ tales $t$. Sin embargo, también se requiere que el $\phi(t)$ ser factible, que es $\phi(t) \in \{x | x_2 \leq \sin x_1, \ x_1 \leq x_2 \}$. En particular, esto significa $\phi(t) \in Q = \{x | \langle x , \binom{1}{1} \rangle \geq 0 \} \cap \{x | x_2 \leq \sin x_1, \ x_1 \leq x_2 \}$. Si puedo demostrar que $Q = \{0\}$, esto le da una contradicción, pues ello implica que $\phi(t) = 0$ pequeña $t$.

Claramente $0 \in Q$. Ahora supongamos $x \in Q$. A continuación, $x_1+x_2 \geq 0$ $x_2\geq x_1$ implican $x_2 \geq |x_1|$. Además, hemos $\sin x_1 \geq x_2 \geq |x_1|$. Sin embargo, la única solución a $\sin x \geq |x|$$x=0$, por lo tanto, tenemos $x_1 = 0$, y, por tanto,$x_2 =0$.