Teoría de números: $a\in A\iff \frac{1}{2}-a\in A$.

Question

Deje $A$ ser el conjunto de todos los $a\in \mathbb{Q}$ para las que no existe $x,y,z\in \mathbb{Z}$ no todos los $=0$ tal que $$a=\frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2}.$$ Prove that $$a\in A\iff \frac{1}{2}-a\in A.$$

Nota: Este es un caso especial de una más general resultado que he descubierto mientras se investiga la Diophantines de la forma $a(x^2+y^2+z^2)=b(xy+yz+zx)$ y ya tiene una solución utilizando métodos que he inventado para ese propósito, pero esto es indirecta/desmotivado. Estoy buscando una solución más directa.

Podría ayudar a saber el "más resultado general:"

La proposición. Si $b\in A$ $a\in A\iff \frac{b-a}{1+a-2ab}\in A.$

Sin embargo, ninguno de estos se ven tan bien como en el caso de que $b=\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1+1\cdot 4+4\cdot 1}{1^2+1^2+4^2}$, lo que da lugar al problema anterior: $a\in A\iff \frac{\frac{1}{2}-a}{1+a-a}=\frac{1}{2}-a\in A.$

Answer 1

Vamos $$ a = \frac{xy+yz+zx}{x^2+y^2+z^2} $$ como en el anterior, tenga en cuenta que esto es equivalente a $$ 1+2a = \frac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2} $$ and let $a'=\frac12-a$. Si $x=y=z$ $a=1$ y $$ a' = -\frac12 = \frac{-1\cdot 2 -1\cdot 2 + 1}{(-1)^2+(-1)^2+2^2} \en Un $$ De lo contrario, si $x,y,z$ no son todos iguales, entonces $$ 1+2a' = 2-2a = \frac{u+v+w}{x^2+y^2+z^2} = \frac{(u+v+w)^2}{u^2+v^2+w^2} $$ donde $$ u = x^2+y^2-z(x+y) \\ v = y^2+z^2-x(y+z) \\ w = z^2+x^2-y(z+x) \\ u+v+w = (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>0 $$ claramente $u,v,w$ no son todos cero y por lo tanto $$ una' = \frac{uv+vw+wu}{u^2+v^2+w^2} \en Un $$ Por lo tanto $a\in A \implies \frac12-a \in A$, y la dirección que sigue de inmediato debido a que $a'\in A \implies \frac12-a' = a \in A$.