En el caso de que $V$ $W$ son finito-dimensional, aquí es un "no-intrínseca" manera de ver este isomorfismo. Si $V$ es finito-dimensional, entonces cada $\operatorname{End}(V)$-módulo es semisimple, y por otra parte cada simple $\operatorname{End}(V)$-módulo es isomorfo a $V$:
Elegir una base $\{e_i\}$ $V$ y definen $P_i(e_j)=\delta_{ij}e_i$, lo $P_1,\ldots,P_n\in\operatorname{End}(V)$$P_iP_j=\delta_{ij}P_i$$\sum_iP_i=1$. Cada uno de la izquierda módulos de $\operatorname{End}(V)\cdot P_i$ es entonces simple y isomorfo a $V$, a través del mapa de $A\cdot P_i\mapsto Ae_i$. Esto es más fácil de ver si usted piensa de esta elección de la base como dar un isomorfismo entre el $\operatorname{End}(V)$ y el anillo de $n\times n$ matrices sobre su campo, en cuyo caso $\operatorname{End}(V)\cdot P_i$ es el submódulo de matrices cuyo único distinto de cero en la columna es el $i$th.
Deje $M$ ser un simple $\operatorname{End}(V)$-módulo y deje $x\in M\setminus\{0\}$. Desde $\sum_iP_i=1$, debe haber alguna $i$ que $P_ix\neq 0$, por lo tanto $M=\operatorname{End}(V)\cdot P_ix$. El mapa de los módulos de $\operatorname{End}(V)\cdot P_i\to M$ envío de $aP_i$ $aP_ix$es entonces un isomorfismo, por Schur del lexema.
La combinación de esta con semisimplicity, si $W$ es finito-dimensional, entonces es isomorfo como un $\operatorname{End}(V)$-módulo de algunas suma directa de $V^{\oplus n}$.
Si nos desvela la cadena de isomorphisms $\operatorname{Hom}_{\operatorname{End}(V)}(V,V^{\oplus n})\otimes V\cong \operatorname{Hom}_{\operatorname{End}(V)}(V,V)^{\oplus n}\otimes V\cong (\operatorname{Hom}_{\operatorname{End}(V)}(V,V)\otimes V)^{\oplus n}\cong (\mathbb{C}\otimes V)^{\oplus n}\cong V^{\oplus n}$, vemos que es el mismo que el de la evaluación del mapa de definir.
