Cómo encontrar los vértices del ángulo después de la rotación

Question

Saqué esta foto a interpretar mi pregunta.

Tengo el x y el eje y para todos los vértices antes de girar el objeto. Y tengo el ángulo de rotación, ¿cómo puedo encontrar el x y el eje y para los vértices después de rotar el objeto.

Gracias

Answer 1

Cuando un punto de $(x,y)$ es girado sobre el origen $(0,0)$ hacia la izquierda por un ángulo de $\theta$, las coordenadas del nuevo punto de $(x',y')$ $$\begin{align} x'&=x\cos(\theta)-y\sin(\theta), \\ y'&=x\sin(\theta)+y\cos(\theta).\end{align}$$ Por lo tanto, cuando hacemos girar un punto de $(x,y)$ acerca de otro punto de $(p,q)$ hacia la izquierda por un ángulo de $\theta$, se pueden calcular las nuevas coordenadas del punto por

1. la traducción de todo el plano, de modo que $(p,q)$ va al origen,
2. realizar la rotación y, a continuación,
3. traducir todo el avión de regreso.

Para traducir $(p,q)$ al origen, restamos $p$ $x$- coordina y $q$ $y$- coordenadas, y para deshacer la operación que agregar en lugar de restar. Así, por ejemplo, después de traducir $(p,q)$ a el origen, las coordenadas $(x,y)$ de nuestro punto han convertido $(x-p,y-q)$.

Por lo tanto, las nuevas coordenadas del punto son $$\begin{align} x'&=(x-p)\cos(\theta)-(y-q)\sin(\theta)+p, \\ y'&=(x-p)\sin(\theta)+(y-q)\cos(\theta)+q.\end{align}$$ En su caso particular, ahora podemos ver que las coordenadas de los puntos $a$, $b$, $c$, y $d$ después de la rotación son $$\begin{align} a'&=((1-3)\cos(15)-(5-3)\sin(15)+3,(1-3)\sin(15)+(5-3)\cos(15)+3)\\\\ &=\left((-2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3,(-2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3\right)\\\\ &=(3-\sqrt{6},3+\sqrt{2})\\\\ &\approx(0.55051,4.41421)\\\\\\ b'&=((5-3)\cos(15)-(5-3)\sin(15)+3,(5-3)\sin(15)+(5-3)\cos(15)+3)\\\\ &=\left((2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3,(2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3\right)\\\\ &=(3+\sqrt{2},3+\sqrt{6})\\\\ &\approx(4.41421,5.44949)\\\\\\ c'&=((1-3)\cos(15)-(1-3)\sin(15)+3,(1-3)\sin(15)+(1-3)\cos(15)+3)\\\\ &=\left((-2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(-2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3,(-2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(-2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3\right)\\\\ &=(3-\sqrt{2},3-\sqrt{6})\\\\ &\approx(1.58579,0.55051)\\\\\\ d'&=((5-3)\cos(15)-(1-3)\sin(15)+3,(5-3)\sin(15)+(1-3)\cos(15)+3)\\\\ &=\left((2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(-2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3,(2)\left(\tfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)-(-2)\left(\tfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\right)+3\right)\\\\ &=(3+\sqrt{6},3-\sqrt{2})\\\\ &\approx(5.44949,1.58579)\\\\\\ \end{align}$$

---

Trazado de estos puntos en Mathematica se muestra visualmente que nuestros cálculos eran correctos:

ListPlot[{{3 - Sqrt[6], 3 + Sqrt[2]}, {3 + Sqrt[2], 3 + Sqrt[6]}, 
{3 - Sqrt[2], 3 - Sqrt[6]}, {3 + Sqrt[6], 3 - Sqrt[2]}}, AspectRatio -> 1, 
AxesOrigin -> {0, 0}, PlotMarkers -> {Automatic, Medium}, PlotStyle -> Blue]

Answer 2

Creo que se puede mover el origen hasta el punto de centro de la plaza y, a continuación, utiliza la matriz de rotación para buscar nuevas coordenadas. De hecho, si el centro de la plaza tiene coordenadas $(x_0,y_0)$ en el lado izquierdo de la imagen, cambiando $(0,0)\to(x_0,y_0)$, todos los puntos en el lado izquierdo de la imagen(X,Y) ha $(X-x_0,Y-y_0)$ coordenadas en el lado derecho de la imagen. Ahora el uso de la rotación adecuada de la matriz de señalar que $\theta=15$. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix

Answer 3

En primer lugar, mover el rectángulo para que el centro de rotación y el origen se superpone. Ahora Es fácil calcular la rotación como punto de $(x,y)$ va a $$(x\cos(\alpha) - y\sin(\alpha), x\sin(\alpha) + y\cos(\alpha))$$ And then move your rectangle back to the original position. We have $\sin(15^\circ)=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$ and $\cos(15^\circ)=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$ so for example for point $a$ we have $$(1,5) \to (-2,2) \to (-\sqrt{6},\sqrt{2}) \to (3-\sqrt{6}, 3+\sqrt{2})$$