Adjunto a la izquierda del functor tensorial

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre un campo $k$ .

Definir $V \otimes - :$ Vect $\to$ Vect el endofunctor tensorial en la categoría de $k$ espacios vectoriales.

Supongamos que que $V \otimes - $ conserva los límites. Se puede demostrar mediante un teorema del functor adjunto que tiene un adjunto izquierdo $F \dashv V\otimes-$ .

Se sabe que todo espacio vectorial $W$ puede escribirse como un colímite de $k$ , es decir, que $W \cong \oplus_{i \in I}k$ donde una base de $W$ está indexado por $I$ .

Demuestra que $F$ está dada por la tensiografía con algún espacio vectorial.

Ahora, la forma en que entiendo esta pregunta es que estamos tratando de demostrar que para cualquier espacio vectorial $W$ , $F(W) = W \otimes V_W$ para algún espacio vectorial. Tal vez quieran decir algo más fuerte, que $F(W) = W \otimes Z$ para todos $W$ .

Para demostrar algo así necesitaría encontrar un mapa canónico $\phi: W \times V_W \to F(W)$ con la propiedad universal de los productos tensoriales. Sin embargo, no veo de dónde puede salir ese mapa. La universalidad puede quizás seguir después de eso usando el hecho de que el $F$ debe preservar los colímites, por lo que $F(W)$ también es un colímite.

También tengo esta información:

Hom $(F(W), Z) \cong$ Hom $(W, V\otimes Z)$ para dos espacios vectoriales cualesquiera $Z,W$ - aunque esto no parece suministrar dicho mapa.

¿Alguna orientación?

Answer 1

$V \otimes (-)$ tiene un adjunto izquierdo si y sólo si $V$ es de dimensión finita; para una dirección véase esta respuesta . En el caso de dimensión finita tenemos un isomorfismo natural

$$V \otimes (-) \cong \text{Hom}(V^{\ast}, -)$$

y luego, por la habitual adjunción tensor-hom, el adjunto izquierdo (naturalmente en $V$ ) es $V^{\ast} \otimes (-)$ .

En el caso general de los módulos la condición es que si $M$ es un $(R, S)$ -bimodulo entonces $M \otimes_S (-)$ tiene un adjunto izquierdo si y sólo si $M$ es proyectiva finitamente presentada como una derecha $S$ -en cuyo caso su adjunto izquierdo viene dado por el tensado con $\text{Hom}_S(M, S)$ en $R$ ver esta entrada del blog .

Answer 2

Para empezar, la afirmación es, en efecto, que $F$ debe estar dada por la tensorización con un espacio vectorial fijo $V^*$ . Ahora bien, si $W$ es un espacio vectorial de dimensión $\kappa$ entonces $F(W)$ es la suma de $\kappa$ copias de $F(k)$ . Esto es lo mismo que $W\otimes F(k)$ ¡! En efecto, todo endofunctor cocontinuo de espacios vectoriales $F$ es naturalmente isomorfo, por la composición $F(W)\cong \oplus_\kappa F(k)\cong F(k)\otimes W$ a la tensiografía con $F(k)$ Y espero que esto sea suficiente para que te pongas en marcha con la prueba completa. Así que la participación de $V$ es una pista falsa.