La solución de un primer orden de la ecuación diferencial que involucra $\sin(x/y)$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación diferencial $$ y'\left(x\right) - \frac{y\left(x\right)}{2x} = x\sin\left(x \y\left(x\right)\right) $$ Creo que es de variables separables ecuaciones diferenciales. He probado a sustituir: $$z=\frac{x}{y}$$ y $$y'=\frac {z-z'x}{z^2}$$ $$\frac {z-z'x}{z^2}-\frac{1}{2z}=x\sin(z)$$

multiplicar por $z^2$

$$z-z'x -\frac{z}{2}=z^2x\sin(z)$$

Y ahora no tengo idea de cómo manipular este.

Answer 1

Sugerencia:

Deje $t=\dfrac{y}{x}$ ,

A continuación, $y=xt$

$\dfrac{dy}{dx}=t+x\dfrac{dt}{dx}$

$\therefore t+x\dfrac{dt}{dx}-\dfrac{t}{2}=x\sin\dfrac{1}{t}$

$x\dfrac{dt}{dx}=x\sin\dfrac{1}{t}-\dfrac{t}{2}$

$\left(x\sin\dfrac{1}{t}-\dfrac{t}{2}\right)\dfrac{dx}{dt}=x$

Esto pertenece a un Abel ecuación de la segunda clase.