Cuántas $3$-tuplas $(a, b, c) \in M^3$ están allí, $a+b+c$ es aún?

Question

La tarea es la siguiente:

$M= \left \{ 1,2, ... 99,100 \right \}$

Cuántas $3$-tuplas $(a, b, c) \in M^3$ están allí, $a+b+c$ es aún?

Traté de resolver de esta manera:

Sólo hay dos posibilidades de que $a+b+c$ incluso:

En primer lugar me mira esto como un desordenado conjunto: El orden no es importante y se puede poner algo nuevo me da:

uno de los elementos es par y los otros dos no:

$$\binom{50+1-1}{1}\binom{50 +2 - 1}{2}$$

o todos los tres elementos son los que me da:

$$\binom{50+3-1}{3}$$

Ahora puedo añadir tanto y se multiplica por $3!$ porque no se $6$ posibilidades para una desordenada conjunto que se ordenen y es importante el orden de las tuplas.

Puedo conseguir $$3! \cdot \left[\binom{50 +2}{3} + 50 \binom{50 +1}{2}\right] = 515. 100$$

Creo que la solución es $500.000$ ¿no? No puedo encontrar mi error...

Answer 1

Número Total de tuplas - $100^3$. La mitad de ellos son incluso, la mitad de ellos son impares por la simetría. Así, la respuesta es $500,000$. (Recuerde!! $a,b,c$ puede ser igual)
La prueba de simetría? Bien, visto esto- Por cada suma es impar, existe una suma que es, incluso, obtenido mediante la adición de $1$ a uno de los números que contribuyen a la extraña suma!
por ejemplo: Si me das $100+100+99 = 299$, le dará $100+100+100=300$
del mismo modo, demostrar la inversa- Para cada suma que es, incluso, existe una suma que es impar, se obtiene restando $1$ de uno de los números que contribuyen a la suma!

Answer 2

Usted podría sólo la lista de las permisible pares e impares configuraciones como:

$OEE,\;\; EOE,\;\; EEO,\;\;$ $\;\;EEE\;\;$ $50^3$ posibilidades,

por lo tanto ans $=4\times50^3$

Answer 3

Su suposición de que hay $3!$ de la organización de cada ordenó triple $(a, b, c)$ sólo es válido si $a$, $b$, y $c$ son distintos. Sin embargo, $(a, b, c) \in M^3$, por lo que $a$, $b$, y $c$ no necesita ser distintos.

Vamos a considerar los casos.

Tres números son seleccionados:

1. Hay $50$ ordenado de tripletas de la forma $(a, a, a)$.
2. Ordenó triples $(a, b, c)$ en que exactamente dos de los números son iguales. Tenemos $50$ opciones para la repetidos número, $\binom{3}{2}$ opciones para sus lugares en los triples, y $49$ opciones para el otro número, por lo que hay $$50 \cdot 49 \cdot \binom{3}{2}$$ triples.
3. Ordenó triples $(a, b, c)$, en la que cada número es distinto. Hay $50$ opciones para $a$, $49$ opciones para $b$, e $48$ opciones para $c$. Por lo tanto, no se $50 \cdot 49 \cdot 48$ de estos.

Un número par y dos números impares seleccionados son:

4. Ordenó triples, con un número par y reiterada de un número impar. Hay $50$ opciones para el número, $3$ opciones para su ubicación, $50$ opciones para la repetidos número impar, y una manera de colocar las repetidas número impar en los lugares abiertos. Por lo tanto, no se $50^2 \cdot 3$ de estos.

5. Ordenó triples, con un número par y dos números impares. Hay $50$ opciones para el número, $\binom{50}{2}$ opciones para los dos números impares, y $3!$ permutaciones de los tres números. Por lo tanto, no se $$50 \cdot \binom{50}{2} \cdot 3!$$ de estos.

Ya que los casos son mutuamente excluyentes, el número total de maneras en que los números pueden ser seleccionados es $$50 + 50 \cdot 49 \cdot \binom{3}{2} + 50 \cdot 49 \cdot 48 + 50^2 \cdot 3 + 50 \cdot \binom{50}{2} \cdot 3! = 500,000$$

Answer 4

El problema es tuplas con números repetidos. Si usted ha contado con el $(2,4,4)$ como una tupla en la primera etapa, entonces hay sólo $3$ ( $3!$ ) permutaciones de la desordenada de los números.

Si ayuda, hay $125.000$ combinaciones con todos los $a,b,c$ a, y $375.000$ con dos impares y uno par.