La prueba de tres variables de la ecuación.

Question

La Pregunta:

Vamos a,b,c de los números complejos satisfactoria $abc = 1$ y $a+b+c =$ $\frac1a + \frac1b + \frac 1c$ Demostrar que al menos uno de $a,b,c$ debe ser igual a $1$.

Lo que he intentado: la Reorganización de los $RHS$ y subbing en la primera ecuación obtenemos $a+b+c = bc + ac+ab$

Ahora, a partir de la Ecuación 1 tenemos $ a = \frac{1}{bc}$ y subbing esta en la manipulación de la anterior obtenemos $\frac{1}{bc} + b+c = bc + \frac 1b + \frac 1c$

Ahora multiplicando por $bc$ obtenemos $1+b+c = (bc)^2 +c + b$ lo que implica que $(bc)^2 = 1$ Y a partir de una ecuación obtenemos $a^2b^2c^2 = 1^2 = 1$ $b^2c^2 = 1$ por lo tanto $a^2 = 1$$a = 1$.

Es esto correcto/suficiente si no se puede que me apunte en la dirección correcta y se sienten libres para mostrar a los otros métodos, etc. Gracias.

Answer 1

Deje $s=a+b+c = bc + ac+ab$.

A continuación, $a,b,c$ son las raíces de

$$(X-a)(X-b)(X-c)=X^3-(a+b+c)X^2+(ab+ac+bc)X-abc$$ $$=X^3-sX^2+sX-1$$

Ahora todo lo que tienes que hacer es observar que $X=1$ es una raíz de $X^3-sX^2+sX-1$.

Answer 2

Alternativamente, usted puede escribir:

$$(a-1)(b-1)(c-1)=abc - (ab+ac+bc) + (a+b+c) -1 = 1 - [ab+ac+bc-(a+b+c)] - 1 = 0$$

Así que una de $a-1,b-1,c-1$ debe ser cero.