¿Por qué es $\nabla \times B$ perpendicular a $B$ ?

Question

Estoy considerando un campo magnético dentro de un condensador de carga donde

$$\boldsymbol{\nabla}\times\textbf{B} =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\\ \textbf{j}_{c}=0.$$

¿Por qué es $\boldsymbol{\nabla}\times\textbf{B}$ es perpendicular a $\textbf{B}$ ?

Answer 1

La condición de que el campo magnético y su rizo sean ortogonales se cumple, en general, para situaciones de ondas planas en las que el rizo viene dado simplemente por $\nabla\times\mathbf B = i\mathbf k\times \mathbf B$ así como una serie de geometrías igualmente "bonitas", pero es pas una propiedad general de los campos electromagnéticos.

En el caso concreto al que te refieres el campo magnético inducido por la corriente de desplazamiento en el interior de un condensador de carga es un poco complicado porque lo que tienes es una ecuación diferencial para $\mathbf B$ , $$ \nabla\times\mathbf{B} =\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}, \tag1 $$ donde la fuente $\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ se supone conocida y homogénea en el espacio (posiblemente con alguna dependencia temporal), y esta ecuación diferencial hace pas tienen soluciones únicas. Esto significa que debe poner restricciones adicionales para moldearlo a nuestras necesidades: normalmente elegimos la solución $$ \mathbf B = (Cy,-Cx,0) $$ para $C$ una constante y con $\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$ a lo largo de $z$ porque es el más útil (¡pero nótese que tiene una dependencia no física del origen!). Sin embargo, el campo magnético $$ \mathbf B = (Cy,-Cx,B_0) $$ también es una solución de $(1)$ y ya no satisface $\mathbf B \cdot(\nabla\times\mathbf B)=0$ Así que la propiedad no es inherente al enunciado de la ley de Ampère, sino que proviene de las condiciones externas que imponemos al problema. En otras palabras, en ese problema $\mathbf B \cdot(\nabla\times\mathbf B)=0$ porque así lo queremos.