Encontrar la raíz de la ecuación

Question

Encontrar el valor máximo de la raíz de la ecuación $$x - \frac{1000}{\log 2} \log x = 0$$ Se localiza entre el$13746$$13747$, pero me gustaría encontrar la solución correcta no el uso de calculadoras gráficas. Gracias de antemano.

Answer 1

Considere la función $$f(x)=x - \frac{1000}{\log 2} \log (x)$$ $$f'(x)=1-\frac{1000}{x \log (2)}$$ The function goes through a minimum (by second derivative test) at $x=\frac{1000}{\log (2)}$.

Así que, comencemos método de Newton, lo que generará la siguiente iteración $$x_0=2000$$ $$x_1=34175.5$$ $$x_2=14218.2$$ $$x_3=13747.7$$ $$x_4=13746.8$$ cual es la solución para seis cifras significativas.

Editar

Lo que he intentado mostrar anterior es que, incluso con una muy baja estimación de la solución, se puede obtener la solución en pocas iteraciones del método de Newton. Sin embargo, podemos mejorar el proceso, ya que, para valores grandes de a $k$, la raíz de la ecuación ($f(x)=x-k\log(x)=0$puede ser estimado como $$x\approx k\Big(\log(k)+\log\big(\log(k)\big)\Big)$$ For $k= \frac{1000}{\log 2}$, this will give $x_0= 13357.4$ y la solución habría sido obtenidos después de dos iteraciones.

Answer 2

Resolver $$x-\frac{1000}{\log(2)}\log(x)=0$$ for $x$. Sustituto $x=e^t$: $$e^t-\frac{1000}{\log(2)}t=0;$$ restar $e^t$ desde ambos lados: $$-\frac{1000}{\log(2)}t=-e^t;$$ multiplicar ambos lados por $\dfrac{\log(2)}{1000}$: $$-t=-\frac{\log(2)}{1000}e^t;$$ dividir ambos lados por $e^t$: $$-t\frac{1}{e^t}=-\frac{\log(2)}{1000};$$ reescribir $1/e^t=e^{-t}$: $$-te^{-t}=-\frac{\log(2)}{1000};$$ sustituto $u=-t$: $$ue^u=-\frac{\log(2)}{1000};$$ tomar la rama de $-1$ producto de registro de ambos lados: $$u=\operatorname{W}_{-1}\left(-\frac{\log(2)}{1000}\right);$$ sustituya por $u$: $$-t=\operatorname{W}_{-1}\left(-\frac{\log(2)}{1000}\right);$$ multiplicar ambos lados por $-1$: $$t=-\operatorname{W}_{-1}\left(-\frac{\log(2)}{1000}\right);$$ sustituya por $t$: $$\log(x)=-\operatorname{W}_{-1}\left(-\frac{\log(2)}{1000}\right);$$ tomar exponenciales de ambos lados: $$x=e^{-\operatorname{W}_{-1}\left(-\log(2)/1000\right)}\phantom{.};$$ escribir la respuesta: $$\therefore x=\boxed{e^{-\operatorname{W}_{-1}\left(-\log(2)/1000\right)}\phantom{.}}\approx13746.809166647028808721383407435.$$

Answer 3

$$x-\frac{1000\ln(x)}{\ln(2)}=0\Longleftrightarrow$$ $$-\frac{1000\ln(x)}{\ln(2)}=-x\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1000\ln(x)}{\ln(2)}=x\Longleftrightarrow$$ $$1000\ln(x)=x\ln(2)\Longleftrightarrow$$ $$e^{1000\ln(x)}=e^{\ln(2)x}\Longleftrightarrow$$ $$x^{1000}=2^x\Longleftrightarrow$$ $$x=\exp\left[-\text{W}\left(-\frac{\ln(2)}{1000}\right)\right]\approx13746.809166647028809$$