Mostrar que el conjunto dado es cerrado

Question

Una pregunta que me he encontrado que se ve diferente a la de una normal abierto/cerrado de los conjuntos de pruebas:

Deje $(E, d)$ ser un espacio métrico, vamos a $f : E\to R$ ser continua y $a$ elemento $R$. Mostrar que el conjunto de \begin{equation} A = \{x \in\ E : f(x) = a \} \end{equation} está cerrada.

No es la desigualdad, en lugar de que haya igualdad, así que todavía podemos demostrar de la misma manera?

Gracias.

PS. Soy un principiante y quieres aprender de estos para un examen pronto.

Answer 1

SUGERENCIA: Desde $f$ es continua, los conjuntos de $f^{-1}[(a,\to)]$ $f^{-1}[(\leftarrow,a)]$ están abiertos en $E$. (Nota: Si no has visto la notación antes, $(a,\to)$ escrito $(a,\infty)$, e $(\leftarrow,a)$ es otra notación para $(-\infty,a)$.)

Answer 2

Supongamos que usted tiene secuencia $x_n \to x$ donde $\{x_n\} \subset A$, entonces, ¿qué puedes decir acerca de la secuencia de $\{f(x_n)\}$? ¿Qué puede usted concluir acerca de la $x$ a partir de esto?

Answer 3

Muestran que contiene todos sus acumulación de puntos, en lugar de tratar de mostrar que su complemento es abierto.