Los límites de la función compleja en una tira

Question

Estoy solucionar el siguiente problema.

Deje $\Omega = \lbrace z \in \mathbb{C} : -1< \operatorname{Im} z <1 \rbrace$ y $f$ ser un holomorphic función de $\Omega$ a la unidad de disco de la satisfacción de sus limitar a $ \infty$ a lo largo de eje real es 0. Demostrar que para cualquier $-1<y<1$, $f(x+iy)\rightarrow 0$ como $x \rightarrow \infty$

Traté de usar un LFT a la unidad de disco a avobe tira de manera que tengan en cuenta la composición de la que se obtiene un mapa de la unidad de disco a utilizar lema de Schwarz. PERO encontré que tal LFT no existe.. ES de todos MODOS HAY acerca DE ESTO? cualquier comentario será apreciado.

Answer 1

Aquí es una buena prueba de uso (versión fácil) del teorema de Montel:

Deje $f_n(z) = f(z+n)$. A continuación, cada una de las $f_n$ es un holomorphic mapa de$\Omega$$\mathbb{D}$. En particular, la familia $(f_n)$ es uniformemente acotada en $\Omega$, por lo tanto, una familia normal. Esto significa que cualquier subsequence de $(f_n)$ tiene un localmente uniformemente convergente larga, convergiendo a algunos holomorphic límite de $f$. Por supuesto, $f(x) = 0$$x \in \mathbb{R}$, así, por el principio de unicidad $f\equiv 0$. Ya todos los límites de funciones se $0$, llegamos a la conclusión de que $f_n \to 0$ localmente uniformemente en $\Omega$, lo que implica la reclamación.