Prob. 7, 20 Segundos en Munkres' TOPOLOGÍA, 2ª ed: ¿cuáles son los necesarios y suficientes condiciones en las $a_n$$b_n$?

Question

Deje $\mathbb{R}^\omega$ ser el conjunto de todas las secuencias de números reales con el uniforme de la métrica $\tilde{\rho}$ se define como $$ \tilde{\rho}(x,y) \ \colon= \ \sup \left\{ \ \min \left\{ \ \vert x_n - y_n \vert, 1 \ \right\} \ \colon \ n \in \mathbb{N} \ \right\} \ \forall \ x \colon= (x_n)_{n \in \mathbb{N}}, \ y \colon= (y_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\omega. $$

Vamos $a \colon= (a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, $b \colon= (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\omega$ dos secuencias fijas con $a_n > 0$ todos los $n \in \mathbb{N}$.

Deje que el mapa de $h \colon \mathbb{R}^\omega \to \mathbb{R}^\omega$ ser definido por $$ h\left( (x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right) \ \colon= \ \izquierdo( a_n x_n + b_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \ \forall \ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^\omega. $$

Entonces, ¿qué son los necesarios y sufficeint condiciones en las $a_n$ $b_n$ $h$ a (i) continuo? (ii) un homeomorphism?

Mi esfuerzo:

Si la secuencia de $(a_n)$ está acotada arriba por un número real positivo $M$, dicen, a continuación, para todos $x$, $y \in \mathbb{R}^\omega$ tal que $\tilde{\rho}(x,y) < 1$, tenemos $$ \vert x_n - y_n \vert = \min \{ \vert x_n - y_n \vert , 1\} $$ para cada una de las $n \in \mathbb{N}$. Y así $$ \tilde{\rho}\left(h(x), h(y)\right) = \sup_{n} \left\vert (a_n x_n + b_n ) - (a_n y_n + b_n) \right\vert = \sup_n \left( \vert a_n \vert \cdot \vert x_n - y_n \vert \right) \leq \sup_n M \vert x_n - y_n \vert = M \sup_n \vert x_n - y_n \vert = M \tilde{\rho}(x,y), $$ a partir de la cual la continuidad de la mapa de la siguiente manera.

Estoy en lo cierto? Y si es así, entonces ¿cuál es la condición necesaria para la continuidad de la $h$?

El mapa de $h$ es bijective.

Si además de la secuencia de $(a_n)$ está acotado abajo por un número real positivo $m$, dicen, a continuación, utilizando un procedimiento similar al utilizado para obtener la cadena de desigualdades, podemos llegar a $$ \frac{1}{m} \tilde{\rho}\left( h(x), y(y) \right) \geq \tilde{\rho}(x,y), $$ lo que demuestra que el mapa de $h$ es también un homeomorphism.

Estoy en lo cierto? Y si es así, entonces ¿cuál es la condición necesaria para el mapa de $h$ a ser un homeomorphism?

Answer 1

Supongamos $(a_n)_n$ es no acotado, entonces para cada a $n \in \mathbb{N}$, nos encontramos con $ m \in \mathbb{N}$$a_m \geq n$. Deje $x^{(n)} \in \mathbb{R}^\omega$ ser definido por $x^{(n)}_{m'} = 0$$m' \neq m$$x^{(n)}_{m} = a_m^{-1}$. A continuación, $x^{(n)}$ converge con respecto a $\tilde\rho$$0 \in \mathbb{R}^\omega$, la secuencia que consta sólo de ceros. Pero tenemos $$\tilde{\rho}(h(x^{(n)}),h(0)) \geq |a_m x^{(n)}_m + b_m - b_m| = |a_m x^{(n)}_m| = 1,$$ so $h(x^{(n)})$ does not converge to $h(0)$, thus $h$ is not continuous in this case. By what you have already proved, boundedness of $(a_n)_n$ is a necessary and sufficient criterion for continuity of $h$.

Para $h$ a ser un bijection tienes que tener $a_n \neq 0$ todos los $n$ que está satisfecho por sus supuestos. Entonces la inversa está dada por $h^{-1}((x_n)_n) = (a_n^{-1}x_n - a_{n}^{-1}b_n)$. Establecimiento $\tilde{a} = (a_n^{-1})_n$ $\tilde{b} = (-a_n^{-1}b_n)_n$ encontramos $$h^{-1}((x_n)_n) = (\tilde{a}_n x_n + \tilde{b}_n)$$ thus we can apply our result concerning the continuity of $h$ to conclude that $h^{-1}$ is continuous iff $\tilde{a_n}$ is bounded, that is, iff $a_n$ es acotado abajo por algún número positivo.

Answer 2

Sí tienes razón.

Supongamos $b_i=0$. Y si el mapa es continua es mal estar delimitado por encima, ya que estamos, podemos encontrar $a_{k_i}$ tal que $a_{k_i}>i, i=1, 2, 3,\cdots$, entonces la secuencia de $(0,\cdots,1/1,\cdots,1/2,\cdots,1/3,\cdots),(0,\cdots,0,\cdots,1/2,\cdots,1/3,\cdots),(0,\cdots,0,\cdots,0,\cdots,1/3,\cdots),\cdots$ que converge a $(0, 0, 0, \cdots)$ es asignado a una secuencia con la distancia entre cada uno de sus miembros y $(0, 0, 0, \cdots)$ siempre por encima de la $1$.

Para el hogar improvisar cosa, puesto que ya están bijective, sólo necesitamos asegurar la inversa es continua, lo que significa que $1/a_i$ está delimitado por encima, es decir, $a_i$ está delimitado a continuación.