Simplificando$\left|\frac{z-3}{z+3} \right|=2$

Question

Quiero gráfico siguiente, pero la simplificación es la pregunta aquí: $$\left|\frac{z-3}{z+3} \right|=2$$

Ahora puedo hacer esto : $$\frac{|z-3|}{|z+3|}=2 $$ $$|z-3|=2|z+3|$$ $$|x+iy-3|=2|x+iy+3|$$

Lo de la manipulación hago uso aquí? Tengo la respuesta, es un círculo de radio $4$ centrada en $(-5,0)$

Answer 1

Trate de escribir la definición de $|a + ib | = \sqrt{a^2 + b^2}$ en ambos lados, el cuadrado ambos lados y, a continuación, la simplificación.

Para el lado izquierdo, su $a$$x-3$$b = y$.

Answer 2

$$|x+iy-3|^2=4|x+iy+3|^2$$ $$|x+iy-3|^2=(x-3)^2+y^2$$ $$4|x+iy+3|^2=4(x+3)^2+4y^2$$

Así:

$$(x-3)^2+y^2=4(x+3)^2+4y^2$$ $$x^2-6x+9+y^2=4x^2+24x+36+4y^2$$ $$0=3x^2+30x+27+3y^2$$ $$0=x^2+10x+9+y^2$$ $$0=(x+5)^2-16+y^2$$ $$16=(x+5)^2+y^2$$

Es una ecuación de un círculo de radio de $4$ centrada en $(-5,0)$.

Answer 3

De donde habéis salido, después de que el cuadrado ambos lados :

$$(x-3)^2+y^2=4(x+3)^2+4y^2\iff -9=x^2+10x+y^2\iff $$

$$\iff (x+5)^2+y^2=16$$

De hecho, un círculo centrado en $\;(-5,0)\;$ y radio de $\;4\;$ .

Answer 4

Cuadrado ambos lados de la ecuación y el uso de $\left| z \right|^2 = z z^*$

$$\left|\frac{z-3}{z+3} \right|^2=4$$

$$\frac{z z^* - 6 z z^* +9}{z z^* + 6 z z^* +9} =4$$

$$z z^* - 6 z z^* +9 =4 (z z^* + 6 z z^* +9)$$

$$ 0 =3 z z^* + 30 z z^* + 27$$

$$ 0 =3 (z z^* + 10 z z^* + 9)$$

Cancelar la $3$ factor

$$ 0 =z z^* + 10 z z^* + 9$$

$$ 0 = \left| z + 5 \right|^2 -16$$

$$ 4 = \left| z + 5 \right|$$

que no es otra cosa que la ecuación de un círculo centrado en 5 de radio 4.