Star Trek Williams libro

Question

Este es el E10.10 De Williams "Probabilidad con Martingales" libro, que me pasé un montón, pero no pude averiguar cuál es la relación entre Gauss y teorema de ello! Aquí está la pregunta:

El sistema de control en la estrella de la nave Enterprise ha ido wonky. Todo lo que uno puede hacer es establecer una distancia a ser recorrida. La nave se moverá a esa distancia en una dirección elegida al azar, luego se detiene. El objeto es conseguir que en el Sistema Solar, una bola de radio r. Inicialmente, la Empresa está a una distancia de $R_o(> r)$ desde el Sol. Deje $R_n$ ser la distancia desde el Sol a la Empresa después de n 'espacio-saltos'. Uso De Gauss, teoremas sobre los potenciales debido a esféricamente simétricas de carga de las distribuciones para demostrar que cualquiera que sea la estrategia adoptada, $1/ R_n$ es un supermartingale, y que para cualquier estrategia que siempre establece una distancia no mayor que que de Sol a la Empresa, $1/R_n$ es una martingala.

¿Cómo podría estar relacionado con algo como $1/R_n$ en cualquier forma? ¿Qué es una buena idea?

Answer 1

Es conocido a partir de los potenciales de la teoría de que un esféricamente simétrica la distribución de carga genera el mismo potencial fuera de ella, como si la carga total se concentra en el centro. El valor esperado de $1/R_{n+1}$ es el potencial generado en el sol por uniformemente cargada superficie esférica alrededor de la Empresa, posición $X_n$ paso $n$. Si la distancia no es mayor que la del sol a la Empresa, el sol está fuera de esta superficie, por lo que el potencial es el mismo que el generado por la Empresa en$X_n$, $1/R_n$, lo $1/R_n$ es una martingala.

Por otro lado, el potencial en el interior de un uniformemente cargada superficie esférica es constante; es decir, es igual a su valor en la superficie, que es el potencial el total de la carga concentrada en el centro se generan en la superficie, y por lo tanto menor que el potencial el total de la carga concentrada en el centro se generan en el interior de la esfera. Por lo tanto, si la distancia puede ser mayor que la del sol a la Empresa, el sol puede ser el interior de la uniformemente cargada superficie esférica, y el valor esperado de $1/R_{n+1}$ puede ser menor que $1/R_n$, lo $1/R_n$ es un supermartingale.