La dualidad tannakiana afirma que podemos recuperar cualquier grupo compacto a partir de sus representaciones de dimensión finita. Más en general, podemos recuperar un esquema de grupo afín a partir de sus representaciones finito-dimensionales. En este Nota de Milne dijo que para cualquier grupo topológico $K$ la categoría $\mathbf{Rep}_{\mathbb{R}}(K)$ de representaciones continuas de dimensión finita de $K$ es una categoría tannakiana neutra, por lo que existe un grupo algebraico afín $\widetilde{K}$ en $\mathbb{R}$ tal que su categoría de representaciones $\mathbf{Rep}_{\mathbb{R}}(\widetilde{K})$ es isomorfo a $\mathbf{Rep}_{\mathbb{R}}(K)$ . Tal $\widetilde{K}$ se llama envolvente algebraica real de $K$ y también tenemos un mapa $K\to \widetilde{K}(\mathbb{R})$ que es un isomorfismo si $K$ es compacto.
Quiero saber cómo encontrar $\widetilde{K}$ o al menos $\widetilde{K}(\mathbb{R})$ si $K$ no es compacto. Por ejemplo $K = \mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ . Creo firmemente que no podemos recuperar el grupo $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R})$ de sus representaciones finito-dimensionales ya que tiene muchas representaciones infinito-dimensionales interesantes (que están relacionadas con la teoría de formas automórficas). Así que $\widetilde{K}$ no será sólo $\mathrm{SL}_{2}$ y $\widetilde{K}(\mathbb{R})$ puede no ser isomorfo a $\mathrm{SL}_{2}(\mathbb{R)}$ . ¿Es correcto?
